习题2.3教学目标设计

高中数学

第二册（上）

课题：

双曲线及其标准方程

说课教师：

汉口北高级中学

徐红梅

教 材： 全日制普通高级中学教科书(必修) 高二《数学》上(人民教育出版社) 一

教材分析

（一）教学内容

双曲线及其标准方程是全日制普通高级中学（必修）《数学》第二册（上）（人民教育出版社）

第八章第三节的内容.分两课时：第一课时：探索双曲线的定义，标准方程的推导及其初步应用；第二课时：探索双曲线的定义及其标准方程的进一步应用（巩固求曲线方程的两种基本方法，即定义法和待定系数法）.现在说第一课时.

（二）教材的地位和作用

双曲线是解析几何的重要内容——圆锥曲线之一，

椭圆的学习已为研究本节内容提供了基本模式和理论基础；本节内容也是后继内容学习的基础，并在科学技术和日常生活中有着广泛的应用. （三）教学重点与难点

[确定依据] 根据教学大纲，学生学习实际情况，结合以上分析.

教学重点

双曲线的定义及其标准方程

[解决方法] 为了突出此重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示双曲线上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程. 教学难点

双曲线的标准方程的推导

[解决方法] 为了突破此难点，回顾用坐标法求曲线方程的一般步骤，类比椭圆标准方程的推导过程

，关键是抓住“化简方程”

这一环节来进行方程的推导.

二

学情分析

（一）有利因素

学生通过对椭圆的探究，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础.由于双曲线在日常生活中有着广泛的应用，学生具有了一定的好奇心和求知欲，并对双曲线有了一定的感性认识..

（二）不利因素

学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困

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难.同时受学习椭圆的定势思维，容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：标准方程中a，b，c的关系，焦点位置的确定），在教学中引起了高度的重视，并采取了相应的措施来克服这些不利因素.

三

教学目标分析

[确定依据] 根据教学大纲的要求，结合教材分析、学情分析特制定以下三维

教学目标. （一）知识与技能目标

掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题. （二）过程与方法目标

通过学生自主探索

，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，

体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，

形成良好的思维品质. （三）情感态度与价值观目标

通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.

四

教法学法分析

[确定依据] 为实现以上教学目标，根据教学大纲的要求，结合本节课的教学内容，及学生的认知水平. （一）教学方法

引导探索、发现法

[设计意图]

这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃. 同时培养学生自主学习和动手探究的能力. （二）学习方法

自主探索、合作交流

．

[设计意图]

这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索精神及合作意识．

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（三）

教学手段 多媒体辅助教学．

[设计意图]有利于激发学生学习的兴趣，增强动感与直观感，增大教学容量，提

高教学效率和教学质量．

（四）学具 一条拉链，两颗图钉，一块纸板. [设计意图]为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件.

五

教学过程设计

[确定依据]为了充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导

下的“再创造”过程. 我设计了以下教学流程：

类比探究

建立方程

抽象概括

归纳定义

创设情境

引入新课

（一）创设情境，

引入新课

本节课的开始由多媒体演示实例，并引导学生观察图中的红色曲线. （1）济南市立交桥的外观结构；

（2）为缓解交通拥堵，北京市创建的新式交通结构图；

（3）城市标志雕塑的外形；

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实践探索

形成能力

整理知识

纳入系统

分层作业

巩固提高

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（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓. 并指出：这些红色曲线就是数学中研究的双曲线.上述都是实际生活中与双曲线有关的例子.除此之外，双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线; 利用远程双曲线导航的罗兰C卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题：

§8.3双曲线及其标准方程(1)

[设置意图]让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 . （二）抽象概括

归纳定义

提出思考：如何定义双曲线呢？

[设计意图]通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态. 教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：

椭圆上动点M满足：MF1MF22a(a>0) 引导一：若将上式改为MF1MF22a(a>0)，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？

[设计意图]“思维从疑问开始”，

以问题为出发点，创设有效的学习情景，不仅可以复习旧知，为本节课的学习奠定基础，而且这样设问可以提高学生的求知欲，激发学生学习的兴趣．鼓励学生积极参与、主动思考，发挥学生学习的主体作用. [解决方法]

让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉.介绍作图方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1 ，F2处，取拉锁处为M点，由于拉链两段是等长的，则MF1MF2FF2，设FF22a，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图.(如图1).并由此提出思考：若动点M满足：MF2MF12a(a>0)，应该怎样作图呢？

让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮

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助.然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果.对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦. [设计意图]

双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程．

图1

图2

学生完成作图后，再用课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：

集合P的动点M的轨迹.若将上述集合改为｛M

MF2a，a0

｝11MF2＝

，比较两集合的关系，取FFP2｛M

MF2MF1＝2a，a0

｝12a，同理可画出此时动点M的轨迹(图2).

[设计意图]课件演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性. 观察、比较，归纳：

上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.

其中右边一支满足：MF1MF2

，左边一支满足：MF1MF2

引导二：

（1）在纸板上作图说明了什么？

（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？

（3）常数2a与F1F2有什么关系？

教师引导学生观察、分析，并归纳结论：

（1）平面内

（2）动点M与两个定点F1 ，

F2的差的绝对值等于常数.

（3）02aF1F2

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并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：

平面内与两个定点F1、F2的差的绝对值等于常数(小于F1F2

)的点的轨迹叫做双曲线. 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

[设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.

并实现对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法.

引导三：如果改变常数2a的范围（2a=F1F2，2a=0，

2a＞F1F2），动点

的轨迹会发生什么变化呢？

[解决方法]教师让学生相互讨论

，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：

常数2 a

动点M的轨迹

(1) MF1MF22a

(0＜2a＜F1F2)

双曲线

(2)

MF1MF22a＝F1F2

线段F1 F2的延长线上

以F2为端点的一条射线

MF2MF12a＝F1F2

段F2F1的延长线上

以F1为端点的一条射线

(3)

2 a = 0

段F1 F2的中垂线

(4)

2aF1F2

(违背了三角形三边长的关系)

不存在

[设计意图]通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力.上述结论是对满足集合PM

MF1－MF2

＝2

a的动点M

的轨迹的全面说明. （三）类比探究

建立方程

引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？

[解决方法]

先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭

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

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圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程. [设计意图]

通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学

生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路．

第一步

建系：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且

点O与线段F1F2的中点重合.

（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，

建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）

第二步

设点：

设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的

焦距为2c(c0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是

图3 (c,0)、(c,0).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a.

第三步 写点集：根据定义写出M点的轨迹构成的点集：

P = { M | |MF1 | —

|MF2 | =±

2 a } 第四步

列方程：用坐标法表示条件P（M），列出方f(x，y)=0，

即：(xc)2y2(xc)2y22a

①

第五步

化简：化方程f(x，y)=0为最简形式.

将方程①化简，得

(c2a2)x2a2y22(c2a2)

②

2c2a，由双曲线的定义可知，即ca，所以c2a20.令c2a2b2，

其中b0，代入上式，得b2x2a2y2a2b2

两边除以a2b2，得出：

x2y221(a0,b0)

2ab

对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x轴上的标准方程，焦点是：

F1 (c,0)、F2 (c,0)，焦距2c.

[设计意图] 为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完

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成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步学生容易掌握，第五步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：平方，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a，b，c三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评.这一环节教学有助于突破本节的教学难点.

注

意：区别双曲线和椭圆的标准方程中a,b,c的关系：

双曲线：c2a2b2（a0,b0，a与b没有确定的大小关系）

椭

圆：c2a2－b2（ab0）

[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的a,b,c的关系，有助于学生克服

椭圆学习中的思维定势. 引导五：焦点在y轴上，并且点O与线段F1F2的中点重合，a,b,c的意义同上，双曲线的方程又如何呢

？

图4

[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的

焦点在y轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的

x、y互换，即：

[设计意图]该问的设置，一方面是为了得出焦点在

y

轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学生的类比能力，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学

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y2x221(a0,b0)

2ab

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生学习的主动性和积极性，

引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：

（1）双曲线的标准方程有何特点? （2）x2,y2项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？

[解决方法] 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生

对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出：

由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：

双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴). [设计意图]观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力.为检验学生对上述结论的掌握情况布置课堂练习：

判断下列双曲线的焦点所在坐标轴：

x2y2－1；

（1）16　　（2）　9x216y2144；

（3）25x216y21.

(四) 实践探索

形成能力

1 例题剖析，初步应用

已知双曲线两焦点的坐标为F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. [解决方法]

课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤.并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一：

待定系数法.

[设计意图]数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能.

2

自我反馈，评价提高

（1）求适合条件a4,b3焦点在x轴上的双曲线的标准方程

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[设计意图]检验学生对双曲线标准方程结构特征的掌握情况.

x2y21表示双曲线，则m的取值范围（2）填空：已知方程2mm1是

.

[设计意图]区别双曲线的两种不同形式的标准方程，注意焦点位置的讨论.

x2y21与双曲线x215y215（3）证明椭圆259[设计意图]比较两种圆锥曲线标准方程中a,b,c的异同. 的焦点相同

通过反馈练习，再次加强学生对新知识的掌握情况，并检验学生新的认知结构的形成和技能的发展状况，对教学中所出现的遗漏和不足给予即时补救.达到巩固，消化，检验新知识的目的.同时使学生获得的知识信息纳入长时记忆系统. （五）知识整理，纳入系统

1 知识点：

(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念. (2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴. (3)

a,b的确定依据. (4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数a,b,c

间的关系（a,b,c

都为正常数，且c最大，结构类似勾股定理：c2a2b2

）

2 数学思想：

数形结合、等价转化. 3 数学方法：

观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法. [设计意图]

通过画龙点睛，提纲挈领的小结，将所学知识纳入已有的知识系统之中，形成学生自己的认知结构.突出重点，抓住关键，培养学生概括能力.通过提炼数学的基本思想方法，使学生掌握数学的精髓和本质，提高数学素养. （六）

分层作业，巩固提高

1 必做题：课本P108习题第1、2、3 (1)、4题

2 课后探究题：

x2y21共焦点，且过点(32,2)的双曲线的方程；

（1）求与双曲线164

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（2）当0180时，方程x2cosy2sin1的曲线怎样变化？

[设计意图]第一部分为课本习题，全班学生必须完成，是基本要求.第二部分课后探究题，是较高要求，鼓励学有余力的学生完成.分层作业，既巩固知识，形成技能，利于教师发现教学中的遗漏和不足.又尊重了学生个体差异

，因材施教，兼顾了学习有困难和学有余力的学生，满足了不同层次学生的学习需求，让他们的数学才能获得了最佳的发展. 板书设计(附录1) [设计意图]为了勾勒出本节课的教学主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点

六

教学评价分析

本节课设计遵循“教师为主导，学生为主体”的教学原则，

围绕“层层设问

自主探索

合作交流

发现规律

归纳总结”

这一主线展开，以促进学生的全面发展为目的.教学活动中，教师作为引导者、组织者与合作者，通过创设问题情景，引导学生逐步发现知识的形成过程，让学生在解决问题的过程中学数学，用数学，鼓励学生大胆尝试、探索、发现、归纳、总结，完成了从感性认识到理性思维的飞跃，体现了“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，让自主探究、合作交流这种新的教育理念真正走进了课堂. 在教学过程中，采用多种方式获取教学的反馈信息（提问、习题的解答、批改作业以及与学生的交谈），并针对具体情况采取行之有效的措施（矫正、弥补、提高）以提高教学质量，达到最佳教学效益．

改变传统的教学评价，甄别、选拔的功能.改进教学评价：既重结果，又重过程；既重知识技能，又重情感态度，价值观.真正体现了新课程改革的评价理

念：以评价促进学生发展，以评价促进教师提高.

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