1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学设计

课题：等比数列的前n项和

教材：人教B版必修五§2.5.1 授课教师： 李天作

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；

教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教

具：多媒体

教学过程：

一、复习提问（课前给出复习：等比数列的定义及性质）

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：anq（n2，q0)

an1n1（2）等比数列通项公式：ana1q(a1,q0)

（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、创设问题情景

一、问题引入：

八戒西天取经后，担任了高老庄集团的董事长，因急需大量的资金投入，于是找悟空帮忙，悟空一口答应：“行！我以1万为基准，每天再加1万，也就是第一天1万，第二天2万，第三天3万…依次连续（30天），但从投资的第一天起，第一天必须还给我1分，第二天还给我2分，第三天还给我4分…”八戒心里打起了小算盘：“第一天：支出1分，收入1万；第二天：支出2分，收入2万；第三天：支出4分，收入3万！哇！发财了！”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又犯嘀咕：“这猴子老欺负我，会不会又在耍我？”

【设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来】

二、

启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型：

学生直觉认为八戒可以向悟空借钱，教师引导学生自主探求，得出：

八戒30天借到的钱：

'T301230(130)30465（万元）

2八戒30天需要还的钱：

S301222229? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求S301222229？的问题让学生探究，

师：我们从这些数可以发现，等比数列的各项不能直接相加，也没有直接的公式。但单项式与单项式的求和是同类项可以相加减，

那么怎样创造出同类项呢？

三、问题探讨：

问题：如何求等比数列an的前n项和公式

Sna1a2a3an a1a1qa1q2a1qn2a1qn1

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列a1,a2a3,an它的前n项和是Sna1a2a3an

根据等差数列的定义an1and

Sna)(1a2d)1(a1d

（1）

（na-1)1

dSnan(and)(an2d)（1）+（2）得：2Snn(a1an)

Snan-（n-1)d

（2）

n(a1an)

2探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

Sna1a2a3an

学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：21a1a1qaqaq1n2aqn11

aaananSnannn

qq2qn2qn1an1（qnN)

an

变形：anqan1

具体：a1qa2

a2qa3

a3qa4

……

学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。

所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 （1）

qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn

（2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

(1)(2)得：(1q)Sna1a1qn 当q=1时，Snna1 a1(1qn)当q1时，Sn 1q学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当q1时，

Sn

四.知识整合: a1anq

1q1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，Snna1 a1(1qn)aanq当q1时，Sn

1

1q1q2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑q1

与q1

两种情况。

⑵当q1时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，a1,五个量中“知三求二”（方程思想）。

3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

q,n,an,Sn，

五、例题精讲：

例1．求等比数列里的前n项的和：

其中a13,q2,n6解：

a13,q2,n63126S612189.

例2. 求数列1aa...a. 2n11an1解：当a0时，数列为等比数列，且a1即Sn

1a当a1时，Snna1

当a0时，Sn1

【回归问题】

S301222229

①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

2S30222229230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

(分) ≈1073(万元) ＞

465（万元）

S3023011073741823答案:八戒不能向悟空借钱。

六、课堂小结：

1、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。

2、等比数列的前n项和公式：

na1,(q1),

Sna1a1qn

1q,(q1).

na1,(q1)Sna1anq1q,(q1).3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61 习题2.5 A组1，2 提高题：求和（(1a)(2a)2(2n1an)

探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？

八、板书设计：

2.5.1等比数列的前n项和

公式： 例1 例2

特征

九、课后反思：