习题2.4第一课时教学实录

抛物线中过定点弦的问题

命题：设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y22px(p0)上异于原点O的两动点，求证：若OAOB，则y1y2,x1x2均为定值. 结论：直线AB过定点(2p,0)

p推论一：若y1y2p2直线过定点(,0)

2推论二：设M(a,0)是抛物线y22px(p0)的对称轴上一定点，过M的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1y2和x1x2均为定值. 推论三：当y1y2k（定值）时，直线AB过定点(k,0)

2p例1：设P、Q是抛物线y2x上异于原点O的两个动点，OPOQ，以OP、OQ为邻边作矩形OPRQ，求R点的轨迹方程

变式一：设P、Q是抛物线y2x上异于原点O的两上动点，且OPOQ，求OPQ的重心的轨迹方程。

变式二：设P、Q是抛物线y2x异于原点O的两个动点，且OPOQ，OMPQ，M为垂足，求点M的轨迹方程。

例2：在变式一中加第二问（2）OPQ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。

pp例3：已知动圆过定点(,0)，且与直线x相切，其中p0。

22（1）求动圆圆心C的轨迹方程；

（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别是和，当、变化，且为定值时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

pp（1）解：如图设M为动圆圆心，定点(,0)记为F，过点M作直线x的垂线，22p垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线x的距离相等，2pp由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(,0)为焦点，x为准线，22所以轨迹方程为y22px(p0)；

（2）证明：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意得x1x2（否则）且x1,x20所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb

yy显然x11,x22

2p2p22ykxb由2消去x，得ky22py2pb0

y2px(p0)由韦达定理知y1y2①

当2p2pb,y1y2

①

xk2时，即222时,tantan1,所以y1y21

x1x2yy22pb4p2,所以b2pk

x1x2y1y20,12y1y10,y1y24p2由①知：x4pp因此直线AB的方程为ykx2pk即k(x2p)y0所以直线AB恒过定点(,0)

2②

当时，由，得

2tantan()2p

b2pk2p(y1y2)tantan将①式代入上式化简得：21tantany1y24ptan2p2p2pk，此时，直线AB的方程为ykx2pk

tantan2p2p)0所以直线AB恒过定点(2p,)

即k(x2p)(ytantan所以b

所以由（1）（2）知，当当2时，直线AB恒过定点(2p,0)

2p)。

tan2时，直线AB恒过定点(2p,例4：如图，已知抛物线C：x22py上一异于原点O的动点M和平面上的两个定点A(0,a),B(b,a)(a0)直线MA交曲线C于M1，直线MB交曲线C于M2，连结M1M2

（1）若b=0，求证M1M2//x轴

（2）若b0，直线M1M2是否恒过某一定点？如果是经过某一定点，则求出该点；否则说明理由。

（1）证明：设M(x0,y0),M1(x1,y1),M2(x2,y2)在b0时MA直线方程：yay0a(x0)x00代入x2px中有：(ya)2(y0a2)2pyx0即ya2y22a(0)2pya20

x0y0a2y0a2a2由韦达理定知：y0y12a(，求得y1

)2pyx0y00y0a(a)2a2同理由直线MB：ya

(x0)代入x2py中同样求得y2xo0y0y02a2于是M1M2平行于x轴

y1y2y0（2）解：由KMAKMM1知：由KMM2KM2B知

x0x1y0a整理得x0x12pa，①

2px00x0x2y0a整理得(x0b)x2bx02pa

②

2px0b

由①代入②得：x0(x2b)bx2x0x1即x1x2b(1x2)

③

x0直线M1M2方程：yy1x1x2(xx1)，化为2py(x1x2)xx1x2，④

2p由③代入④得：2pyb(1x2x2pa)xx1x2b(12)xx2x0x0x0即2pybxx2(bx2pa)

x0x0在x

2ap2apb2ap,a)

时，有ya，因此M1M2直线恒过定点(bb2pb