4.3.2 空间两点间的距离公式优秀教案范文

“空间两点间的距离公式”的教案

课型：新授课

一、教学目标

【知识目标】

让学生理解空间内两点间的距离公式的推导过程

，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；

【能力目标】

（1）通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力；

（2）通过猜想，培养学生类比、迁移和化归的能力。

【情感目标】

培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。

二、重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式及其简单应用. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 三、课时安排

1课时

四、教学过程

1、创设情境，引出课题

创设情境：一楼屋顶C’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达A处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？

z C’

D’

A’

4m C B’

y B 10m x D 15m A 图1

长方体楼房

将知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落的问题创设情境，增强讲授的吸引力，提高学生的兴趣。通过问题一：这是个什么图形？求的是什么？引导学

生回忆已学的知识--长方体对角线的求法；再通过问题二：将这一图形放入空间直角坐标系中，通过坐标又怎样求解呢？让学生感到认知不足，从而引出课题。

课题引入：我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)2(y2y1)2.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 2、新知探究，提出问题

问题1：在研究这一问题之前，先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？

平面直角坐标系中如图2,两点之间的距离公式是作平行线或垂线构成直角三角形利用勾股定理来推导的. y A B O x x z o y P(x,y,z) Bx,y,0

图2 平面两点间的距离 图3 空间中任一点到原点的距离

P1问题2：空间中任一点P(x,y,z)到原点的距离是多少?根据是什么?

如图3,设P(x,y,z)是空间任意一点,过P作PB⊥xOy平面,垂足为B,根据坐标的含义知,PB=z，OB=x2y2.由于三角形PBO是直角三角形,所以PO2=PB2+BO2

222=z+x+y,因此P到原点的距离是d=x2y2z2. z P1M P2Px H y

图4 空间中任两点间的距离

问题3：空间中任两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，如何求P1 ,P2的距离|P1 P2|？

分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是求出|MN|=(x2x1)2(y2y1)2. 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.

1 N

它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 3、例题剖析，熟悉新知

解：如图5，以C点为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC’为z轴建立空间直角坐标系，C’(0,0,4),A(10,15,0), 2|AC|= 102152= 341<20 （-4）则蜂巢能被击落。

z C’

D’

A’

4m C B’

y B 10m x D 15m A

图5 长方体楼房

小结：坐标法求解立体几何的基本步骤：

①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；

②依题意确定各相应点的坐标

；

③通过坐标运算得到答案。

4、自我评价，反馈调节

在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，H为三角形ABC的外心，求点P与H的距离？

解：建立如图6的空间直角坐标系，则P(0,0,0),A(a,o,o),B(o,a,o), C(o,o,a). 由PA=PB=PC，又H为ABC的外心∴H为ABC的重心。

aaa由重心的坐标公式可得H点的坐标为(,,)，

333aaa3∴|PH|=(0)2(0)2(0)2a

33333∴点P到H的距离为a

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2

Z C P B A y x 图6

P到H的距离

5、知识整理，形成系统

1．本节课主要内容

（1）空间两点间的距离公式及其推导；

（2）坐标法的基本步骤是什么？

第二步：进行有关第三步：把代数运算结

第一步；建立坐标系，

代数运算

果“翻译”成几何关系

用坐标系表示有关的量

2．教学思想与方法

（1）培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯；

（2）体会由特殊到一般,多维到低维，由空间到平面的解决问题的思维方法；

（3）体会应用数形结合思想解决问题的思路。

6、布置作业，巩固提高

必做：

（1）课本练习第4题；

（2）课本习题4.3的A组第3题；

选做：

（1）课本习题4.3的B组第6题。

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