4.3.2 空间两点间的距离公式教学目标设计

3. 1.5空间向量运算的坐标表示

教学目标

1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点

1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程：

（一）复习上一节内容

（二）新课讲解：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)

(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．

(4) a∥b ；ab ．

（5）模长公式：若a(a1,a2,a3)，

则|a|（6）夹角公式：cosabaaa1a2a3．

222a1b1a2b2a3b3ab．

222222|a||b|a1a2a3b1b2b322x(x(2y2)1z(z2)12)1y2B(x2,y2,z2)，（7）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，则|AB|AB(8) 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB ．

AB的中点M的坐标为 ．

例题分析：

例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（

）

A.

a：|a|=b：|b|

B.a1·b1=a2·b2=a3·b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0

D.存在非零实数k，使a=kb

（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（

）

A. －3或1

B.3或－1

C. －3

D.1 （3）下列各组向量共面的是（

）

A.

a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5)

B.

a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C.

a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D.

a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；

416x236x4,x4,44y2x0y3y1.（2）A 点拨：由题知或；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，

1

（1）求a和b的夹角；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC，

∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）.

(1)cos=ab|a||b|100=101025－10，∴a和b的夹角为－10。

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），

22∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k－8=2k+k－10=0。

5则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=ka－ka·b－5222b=2k+k－10=0，解得k=－2，或k=2。

巩固练习

1．

已知a(cos,1,sin),b(sin,1,cos)，则向量ab与ab的夹角是（

）

22(A)90

(B)60

(C)30

(D)0

2．已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，则|ab|的最小值是

（

）

1155535(B)

(C)

(D)

55553．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3),B(2,5,1),C(3,7,5)，则点D的坐标为_____.

(A)4．设向量a(1,3,2),b(4,6,2),c(3,12,t)，若cmanb，

则t

，mn

。

5．已知向量b与向量a(2,1,2)共线，且满足ab18，(kab)(kab)，则b

，

教学反思(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． 作业布置：见学案

2

3.1.5空间向量运算的坐标表示

课前预习学案

预习目标：

1、理解空间向量坐标的概念；

2、掌握空间向量的坐标表示方法

预习内容：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)

(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．

(4) a∥b ；ab ．

（5）模长公式： （6）夹角公式： （7）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则(8) 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB ．

AB的中点M的坐标为 ．

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；

2、掌握空间向量的坐标表示方法

重点难点：空间向量的坐标表示方法

学习过程：

例1、(1)、已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（

）

A.

a：|a|=b：|b|

B.a1·b1=a2·b2=a3·b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0

D.存在非零实数k，使a=kb

(2)、已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（

）

A. －3或1

B.3或－1

C. －3

D.1 (3)、下列各组向量共面的是（

）

A.

a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B.

a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C.

a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D.

a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. 当堂检测：

3

1．

已知a(cos,1,sin),b(sin,1,cos)，则向量ab与ab的夹角是（

）

(A)90

(B)60

(C)30

(D)0

（

）

2．已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，则|ab|的最小值是

(A)5

5(B)115535

(C)

(D)

5553．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3),B(2,5,1),C(3,7,5)，则点D的坐标为_____.

4．设向量a(1,3,2),b(4,6,2),c(3,12,t)，若cmanb，

则t

，mn

。

5．已知向量b与向量a(2,1,2)共线，且满足ab18，(kab)(kab)，则b

，

k

。

课后练习与提高：

1、已知O为原点，向量OA3,0,1,OB1,1,2,OCOA,BC∥OA，求AC．

2．若a(x,2,0),b(3,2x,x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是

（

）

(A)x4

(B)4x0

(C)0x4

(D)x4

3．设a(2,6,3)，则与a平行的单位向量的坐标为

，

同时垂直于a(2,2,1),b(4,5,3)的单位向量e

.

4.已知A(3,2,1),B(1,1,1)，O为坐标原点，

（1）写出一个非零向量c，使得c平面AOB；

（2）求线段AB中点M及AOB的重心G的坐标；

（3）求AOB的面积。

4