2.3 抛物线（通用）教学设计(第一课时)

抛物线及其标准方程教学设计

一、教材分析

本节内容是人教A版数学选修1-1第二章第三节的第一课时。是在学生初中已经通过学习二次函数的图像对抛物线有所认识的基础上，在学生进入高中学***面解析几何初步及本章椭圆、双曲线的知识后进行的。通过本节的学习学生要从曲线的几何特征及曲线的形成上对抛物线有一个新的认识，然后归纳形成抛物线的定义。再用坐标法对曲线的几何性质进行研究。让学生充分体会和加深理解解析几何是一门用数来研究形的学科，是数形结合数学思想的体现。

二、教学目标

知识目标

①理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。

②明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题。

能力目标

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，

情感、态度与价值观

体会数学的简捷美、和谐美。

三、教学重点与难点

教学重点

教学难点

1 抛物线的定义及其标准方程

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导

四、教学的方法与手段

授课类型：新

授

课

教学课件：自制Powerpoint课件

五、教学过程

教学方法：启发式教学、探究式学习

多媒体设备：计算机

【环节一：复习与引入】

教师活动：同学们，我们在前面学习了椭圆和双曲线，它们都有两个定义，我们一起来回顾一下它们的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1表示椭圆，当e1的时候表示双曲线，那么当e1的时候呢，它又表示什么曲线呢？我们先来看一个动画

【环节二：亲身体验,感受新知】

教师活动：在纸一侧固定一根直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺，取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在三角板点A上，固定绳子另一端在直尺外的一点F上，用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边，上下移动三角板,用笔画出轨迹。

教师活动：请同学们观察它是什么曲线？

学生活动：抛物线

教师活动：在这一过程中，动点P点都满足什么条件？（拖着三角板移动）

学生活动：思考作答

教师活动：根据刚才的作图过程我们来归纳一下抛物线的定义

学生活动：学生自己归纳

【环节三：引导探究,获得新知】

观察归纳，形成定义

教师活动：板书（一、定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点,直线

l

叫抛物线的准线）。

（幻灯片展示抛物线的定义，焦点，准线及开口向右的抛物线的图象）

教师活动：同学们观察这个定点F在定直线l上没有？

学生活动：没有。

2

教师活动：如果直线l经过F点呢？（幻灯片展示直线l过点F的图象）

学生活动：观察，容易得出结论：经过F且与l垂直的直线。

教师活动：从抛物线的定义中我们知道，平面内一个动点M，到定点F与到定直线l（F不在l上）的距离相等，这个动点的轨迹就是抛物线，那么它的轨迹方程又是什么呢？

教师活动：要求轨迹方程就要设点的坐标，点的坐标是在坐标系的前提下才成立的，如何来建立坐标系呢？

学生活动：思考

教师活动：因此，建系是关键，类比椭圆与双曲线的建系的方法，可以看出我们要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的应用到对称关系。

教师活动：提出问题：设焦点F到准线l的距离为p（p>0）,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，才能使所得的方程形式比较简单呢？

学生活动：分组讨论，最后由每个小组推荐一人发言。

教师活动：（幻灯片显示学生可能的建立坐标系的方法）现在坐标系建立出来了，我们就要来标出已知点的坐标和已知直线的方程，然后求出抛物线的轨迹方程，我们一起来求一个，剩下的留给你们去求。

教生活动：一起求出其中的一个抛物线的方程。剩下的方程，学生分组完成。

教师活动：巡视，学生可能会等到三种不同的结果

解法一：以l为y 轴，过点F

垂直于

l

的直线为X轴建立直角坐标系（如下图所示）, (xp)2y2x|FK|＝p,则定点F(p,0), 设动点M(x,y) ，由抛物线定义得：

y2px-p(p0)化简得：

解法二:以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为X轴建立直角坐标系(如下图所示),记|FK|=p,则定点F(0,0),l的方程为x=- p，设动点M(x,y) ，由抛物线定义得：22y22pxp2(p0)x2y2|xp|化简得： 解法三：以过F且垂直于

l 的直线为x轴,垂足为K. 以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系(如下图所示), 则定点F(pp,0),l的方程为x=-

，设动点M(x,y) ，由抛物线定22y22px(p0)p2p2义得：(x-)y|x| 化简得： 22教师活动：你选择你一种方程作为标准方程，你会选择哪种？并且说明理由。

3

学生活动：选择y22pxp0，因为这个方程比较简洁。（可由几个学生补充。）

教师活动：板书（抛物线的标准方程：y22pxp0，开口向右）

F,0，准线 pl:x，为焦点到准线的距离（焦准距）。学生活动：焦点

p2p2【环节四：深入探究,完善体系】

教师活动：同学们想想，除了这种开口向右的，还有没有其他情况，又有哪些形式呢？

学生活动：还有开口向左，开口向上，开口向下。

教师活动：它们的方程又有怎样的形式呢，焦点坐标和准线方程呢？

教师活动：刚才我们得到了开口向右的，现在我们来看看开口向上的，我们观察得到它的焦p点的位置从x轴的变到了y轴。焦点坐标从 F0,即x与y刚好F,0变成了 2ppx变成了 y，即x与y刚好互换。既然这些x与y互换，准线方程从 22p2都刚好互换，那个方程中的呢？

学生活动：x与y刚好互换。

教师活动：那么这时它的方程变成了什么？

学生活动： x22pyp0教师活动：我们得到了开口向右和开口向上的，其他两种呢？我们从开口向右到开口向左实际上就是把图象从y轴的右边翻折到y轴的左边，它们两个的图象关于y轴对称，我们都知道关于y轴对称的两个点，纵坐标不变横坐标互为相反数，因此开口向左的方程为什么？焦点坐标和准线方程又是什么？

xF,0，准线方程为 学生活动： y22pxp0焦点坐标为 教师活动：从右到左就是把一次项系数变成它的相反数，那么从上到下呢？

学生活动：一次项系数变成相反数

yF0,，准线方程为 教生活动：因此开口向下的方程为 x22pyp0，焦点坐标为 p2p2p2p2标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

y22pxp0

p2,0

xp

2

4

y22pxp0x22py

p2,0

xp

2p0x22py

p0,2

yp

2p0

p

0,2yp

2教师活动：现在我们得到了四种抛物线的标准方程，我们一起来分析一下这些方程有哪些特pp是什么？

征。四个方程里面都有 . p焦点到准线的距离。

学生活动： 教师活动：请同学们观察四个方程的左边，全部都是几次项

学生活动：二次项

教师活动：右边呢？全部都是几次？

学生活动：全部都是一次项。（幻灯片上展示：方程特点，左边二次式，右边一次式）

教师活动：如何确定抛物线的焦点位置和开口方向呢？请同学们观察第一二两个图，焦点都在那个轴？

学生活动：焦点都在x轴

教师活动：观察一次项都含有x。

教师活动：通过对比我们知道：①一次项决定焦点的位置；②一次项系数的正负决定开口的方向。

【环节五：应用新知,解决问题】

教师活动：通过刚才分析得到的一些结论，我们来试试下面的题目。

例1 （1）已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程。

解：（1）焦点坐标为（－233,０）

准线方程为x 225

变式： 已知抛物线的标准方程是y6x2，求它的焦点坐标和准线方程。

解：方程可化为x11y，故p，

61211交点坐标为(0,)，准线方程为x

24242注意：一定要先把抛物线化为标准形式后再确定焦点、开口及准线

例2 根据下列条件求抛物线的标准方程：

F0,2（1）焦点是 解：方程为 x28y（2）抛物线过点 M4,8解：由题意知，抛物线的开口只能向右或向上

y2px，故 p8，所以方程为 y16x当开口向右时，设方程为 p1，所以方程为 当开口向上时，设方程为 x2py，故 x22y222y16x或 . 综上所述：方程为 x22y2【环节六：小结概括,深化认识】

教师活动：通过本节课的学习，我们来回忆一下，学到了些什么？

学生活动：抛物线的定义，标准方程（可由几个学生补充）

教师活动：类比前面学习椭圆和双曲线，我们知道，学了定义了方程之后，我们就要进一步学习他的几何性质了，大家可以课后去先思考一下。

【环节七：课后作业】

作业：课本64页1、2、3 六、目标达成

通过本节课的学习，学生能理解抛物线的定义，熟练地掌握抛物线的标准方程及其推导。

明确抛物线标准方程中P的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题。

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