3.1直线的倾斜角与斜率（通用）设计意图

3.1.1直线的倾斜角与斜率

一、教学目标

1.知识技能：

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

2.过程与方法：

（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力

（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法

3.情感、态度与价值观：

（1）通过对直线的倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程

（2）通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维。

二、教学重、难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式

难点：斜率概念的学习，过两点的直线斜率公式

三、教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？

问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤＜180

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1.

直线倾斜角的定义包括两部分

（1）

当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。

（2）

当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2.

在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。

问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置？

1.

已知直线过点P能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P转动

2.

已知直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图因为直线可以平行移动

3.

当直线过定点p并已知它倾斜角是45，能确定直线的位置吗？

能确定，直线过定点p，并且倾斜角是45，因此这条直线不能转动和平移了。

如图：

由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外

还有已知一点和一个倾斜角

问题二：什么是斜率？

问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？

学生思考并进行讨论学习

结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度（比）=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在）

n135

当直线的倾斜角=45时，斜率k=tan45=1，当=ta时，k=tan135

因初中学习锐角正切值的计算，因此可以直接给出公式当为锐角时。tan(180)ta，对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推n导，因此tan135=tan(18045)tan45=—1 问题2：探究当在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？

下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？

30、45、60，=120、135、150

=0、

由公式可计算得

k=tan0=0、k=tan30=33、k=tan45=1、k=tan60=3

tan120=tan(180-60)=-tan60=-3

k=tan135tan(18045)tan451

k=tan150tan(18030)tan303可以利用计算器计算当由锐角无限接近90度时k值是向正无穷靠近的并且正值，即当在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大，而当由钝角无效接近90度时，k值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当在90度到180度范围变化时，随着倾斜角的增大斜率增大。

由此可知：

当为锐角时，斜率k=tan>0 当为钝角时，斜率k=tan<0 当为直角时，tan不存在，所以斜率k也就不存在

当=0时，斜率k=tan0=0

反过来

当直线的斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角

当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角

当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角

当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角

问题三：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

y P（y2）

2x2，y

P（y2）

2x2，

P1（x1，y1）



3

P1（x1，y1）

X o （1）

o （2）

X 小结：两点间斜率的计算公式ky2y1（x1≠x2）。

x2x1例1、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 略解: 直线AB的斜率kAB=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率kBC=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率kCA=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

变式练习：求经过下列两点直线的倾斜角。

（1）、

A（2，1），B（3，1）；

（2）、

C（2，1），D（2，6）

四、课堂小结

1、倾斜角的定义及范围

2、斜率的定义和求法

3、两点间斜率的计算公式ky2y1（x1≠x2）。

x2x1