3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计

3．1.1

倾斜角与斜率

教学设计

[提出问题]

在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1：直线l的位置能够确定吗？

提示：不能．

问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？

提示：无数条．

问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？

提示：倾斜程度不同．

[导入新知]

1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

直线

[化解疑难]

对直线的倾斜角的理解

(1)倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.

[提出问题]

升高量日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，前进量32升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞. 22问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡程度？

度来描述直线的倾斜“进2升3”与“进2直线的斜率

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

提示：可以．

问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

提示：可以．

问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

提示：与倾斜角的正切值相等．

[导入新知]

1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. y2－y12．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2x2－x1没有斜率．

3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

[化解疑难]

1．倾斜角α与斜率k的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

2．斜率公式

(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，

如果分y1－y2y2－y1子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. x1－x2x2－x1(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

[例1]

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

C．30°或150°

(2)下列说法中，正确的是(

) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

[解析]

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. (2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜B．60°

D．60°或120°

直线的倾斜角

180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. [答案]

(1)D

(2)D [类题通法]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]

1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(

) A．[0°，90°)

C．(90°，180°)

B．[90°，180°) D．(0°，180°) 解析：选C

直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．

2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°

解析：选D

当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.

[例2]

(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；

(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．

[解析]

(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

－3－y－3－y又k＝，由＝－1，得y＝－5. 2－42－44－m(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. m＋2(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．

直线的斜率

－2－13当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0. m－3m－3[答案]

(1)－5

(2)1

(3)0 [类题通法]

利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

[活学活用]

3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点

(1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：选A

设直线的倾斜角为α，

2＋3－23直线斜率k＝＝，

34－1∴tan α＝3. 3又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.

y[例3]

已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

x[解]

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y2y由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得x3x2值为. 3[类题通法]

y2－y1根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用x2－x1图形的直观性来分析解决问题．

[活学活用]

y＋14．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

x＋1y＋1y－－1解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

x＋1x－－1∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．

51∵kNA＝，kNB＝－，

36的最大值为2，最小知点P(x，y)在线段直线的斜率的应用

1y＋15∴－≤≤. 6x＋13y＋115∴的取值范围为[－，]．

63x＋1

5.倾斜角与斜率的关系

[典例]

已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．

[解析]

如图，由题意可知kPA＝4－02－0＝－1，kPB＝＝1，则直线l的倾斜角介于直线PB－3－13－1与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. [答案]

45°≤α≤135°

k≤－1或k≥1 [易错防范]

1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．

[成功破障]

已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．