1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）PPT及课堂实录内容

高中数学.必修2

空间几何体的表面积与体积

教学目标：

1.知识与技能：掌握柱、锥、台、球体的表面积和体积公式；并会推导其公式。

2.过程与方法：会运用其公式计算或求解空间几何体的表面积和体积。

3.情感、态度与价值观：训练学生的空间想象能力和运算和求解能力；了解相关的数学文化问题。

教学重、难点：

1.重点：熟练运用柱、锥、台、球体的表面积和体积公式；掌握球与空间几何体接、切问题的求解。

2.难点：通过几何体的三视图求直观图的体积和表面积的相关问题；球与空间几何体接、切问题。

教学过程：

一、

[新课引入] （在认识了柱、锥、台、球体的几何特征的基础之上，课前让学生推导柱、锥、台、球体的侧面积、表面积、体积公式）

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面

展开图

侧面

积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl S圆台侧

＝π(r＋r′)l

圆柱

圆锥

圆台

2.空间几何体的表面积与体积公式

名

称

几何体

柱体

(棱柱和圆柱)

锥体

(棱锥和圆锥)

台体

(棱台和圆台)

表面积

体

积

S表面积＝S侧＋2S底

V＝S底h

1V＝S底h

31V＝(S上＋S下

3＋S上S下)h

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧

＋S上＋S下

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球

3.课前练习

S＝4πR2

4V＝πR3

31．如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(

)

111A．1

B．

C.

D．

2362.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) A．3π

B．4π

C．2π＋4

D．3π＋4 3．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(

)

1212122A.＋π

B．＋π

C.＋π

D．1＋π

33333664.教材习题改编

直角三角形三边长分别是3 cm、4 cm、5 cm，绕两直角边旋转一周分别形成两个几何体，则其侧面积分别为________、________. 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

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答案：1.D

2.D

3.C

4. 20π

cm2

15π

cm2

5.

16π

3二、

[典例引领]----师生互动

(1)(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆28π中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(

) 3

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

(2)(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

) A．8＋22

B．11＋22 C．14＋22

D．15

空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

[通关练习] 1．(2017·合肥市第一次教学质量检测)在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为(

)

A．(7＋2)π

22πC.

7B．(8＋2)π

D．(1＋2)π＋6 2．(2017·河北省衡水中学模拟)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于

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(

)

A．34＋65

B．6＋65＋43

C．6＋65＋413

D．17＋65

(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

) 1111A.

B．

C.

D．

8765(2)(2016·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

)

111A.

B．

C.

D．1 632

求空间几何体体积的解题策略

(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．

(2)求组合体的体积．若所给的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

[题点通关]

角度一

求简单几何体的体积

1．(2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)

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A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

角度二

求组合体的体积

2.(2017·陕西西安第一次质量检测)某几何体的三视图

如图所示，则该几何体的体积为(

) 457A.

B．

C.

D．3 323.

(2017·河南省六市第一次联考)三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为(

) 25258383A.π

B．π

C.π

D．π

3232

若本例中的△ABC变为边长为3的等边三角形．求三棱锥外接球的表面积．

——求空间几何体的体积

(2017·唐山模拟)如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．

本题给出两种求体积的方法．当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．

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三、

[课堂练习] 1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为(

) A．1∶2

B．2∶3

C．3∶4

D．1∶3 2．(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

3.(2017·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为(

) π＋2A.

35πC.－2

35π－2B．

32D．2π－

34．(2017·武汉市武昌区调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．

5．(2017·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是________．

四、

[课堂小结] 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面

积公式

圆柱

S圆柱侧＝2πrl 圆锥

S圆锥侧＝πrl 圆台

S圆台侧

＝π(r＋r′)l

2.空间几何体的表面积与体积公式

名

称

几何体

柱体

(棱柱和圆柱)

表面积

体

积

S表面积＝S侧＋2S底

V＝S底h

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锥体

(棱锥和圆锥)

台体

(棱台和圆台)

球

S表面积＝S侧＋S底

1V＝S底h

31V＝(S上＋S下

3＋S上S下)h

4V＝πR3

3S表面积＝S侧

＋S上＋S下

S＝4πR2

3. 球与空间几何体接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

五、

[课后作业] 1.(2017·河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(

) 9A.π

1649C.π

1625B．π

1681D．π

16

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1，这个几何体40的体积为，则经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为________．

33．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：

(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积．

4.请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

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