3.4 生活中的优化问题举例新颖的课程导入教案

1.4生活中的优化问题举例

教学目标：

1．

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

提高将实际问题转化为数学问题的能力

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

探究（一）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4r30.8r2

yfr0.23r320.8r3r,0

62令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）

半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）

半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

探究（二）：磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存m2r储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nRr2r2r(Rr)

×f(r)mmnn（1）

它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储不存储任何信息，故磁道数最多可达量越大．

（2）

为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

f(r)2R2r

mn

令f(r)0，解得rR

2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2mn4三．知识迁移

例1.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

x

x60

60

xx60x60x2x32hV(x)xh22解：设箱底边长为xcm，则箱高

cm，

3x2V(x)60x02令

，解得

x=0（舍去），x=40，并求得

V(40)=16000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时,箱子容积很小，因此，16000是最大值。

例2：圆柱形金属饮料罐的容积V一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

hS=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得

VR2

S(R)2R

令

V2V222R2RR22VR

S'(R)4R02RV3R解得， ，从而

2VV23()23Vh2R4V23V

即

h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,

练习

.某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的x(0,5]60x增加值为(60－x)x2万元，并且技改投入比率

, 求当技改投入

多少万元时，所获得的产品的增加值为最大？

技改投入40万元

四．小结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

五．课后练习

练习1

一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？

20km/h

练习2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？

高为1.2m，最大容积为1.8m3.

练习3

如图所示，一条宽为1m的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度至少为多少m？

33m