1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）ppt专用说课稿内容

《空间几何体的表面积和体积》教学设计

齐市第三十二中学

赵天民

一、教学目标

1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台、球体的表面积和体积的求法。

2、能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

3、培养学生空间想象能力和思维能力。

4、通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。难点：台体体积公式的推导

二．命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2018年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

三．要点精讲

1．多面体的面积和体积公式

名称

棱

柱

棱柱

直棱柱

棱锥

正棱锥

侧面积(S侧) 直截面周长×l 全面积(S全) 体

积(V) S底·h=S直截面·h S侧+2S底

S底·h S侧+S底

1 ch 各侧面积之和

棱

锥

1ch′

21S底·h 3

棱台

棱

台

正棱台

各侧面面积之和

1S侧+S上底+S下底

(c+c′)h′

21h(S3上底+S下底+S下底S下底) 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱

2πrl 2πr(l+r) πrh(即πrl) 22圆锥

πrl πr(l+r) 圆台

π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r1+r2) 22球

4πR

2S侧

S全

V 12πrh 3122πh(r1+r1r2+r2) 343πR

3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台

上、下底面半径，R表示半径。

四．典例解析

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm (1)2(xyyzzx)20依题意得：

(2)4(xyz)24由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。

3（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

2

图1

图2 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

（2）∵AM=AA1cos13=3×=

223AM32。

∴AO==2cos4又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－99=，

22∴A1O=3232302。

，平行六面体的体积为V5422题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体对角线的长是（

）

A．23

B．32

C．6

D．6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝为l=a2b2c26；答案D。

2，c＝3，则对角线l的长点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。

3

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴S△AEF=1S, 4V1=1171h(S+S+S)=Sh 34412V2=Sh-V1=5Sh，

12∴V1∶V2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：锥体的体积和表面积

例5．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2P 的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？

解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，

A B E O D C 于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。

∴四棱锥P－ABCD的体积V=1×23×3=2。

3点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。

例6．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5（如图所示）

5。（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。

解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC。

4 图

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。

在Rt△SCB中，BC=5，SB=55，得SC=SB2BC2=10。

AC51，

SC102在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=SC2AC21025275，

S△ABC=2511·AC·BC=×5×5=，

22211251253·S△ACB·SA=。

753263∴VS－ABC=点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。

题型4：锥体体积、表面积综合问题

例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝42，EF22，CO＝

GO3×4232。

4CO2GC2(32)22218422。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由VBEFGVGEFB，得11EF·GO·hS△EFB·

63

5

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

五．思维总结

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

AODF(1)全面积：S全=3a；

2(2)体积：V=23a；

122a；

2BEC(3)对棱中点连线段的长：d=(4)内切球半径：r=6a；

126a；

4(5)外接球半径 R=(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面

体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。

则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；

②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③体积 V=④底面△ABC=21abc；

612a2b2b2c2c2a2；

⑤S△ABC=S△BHC·S△ABC；

2222⑥S△BOC=S△AOB+S△AOC=S△ABC

1111=+2+2; 22OHabc1⑧外切球半径 R=a2b2c2；

2⑦⑨内切球半径 r=SAOBSBOC-SABC

abc

6

3．

两点的球面距离：

球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离

两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）

7