习题3.2公开课教案

§3.2.3立体几何中的向量方法

——利用空间向量求空间角

教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求解二面角的向量方法

教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系

教学过程

一、复习引入

1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

2．向量的有关知识：

（1）两向量数量积的定义：ab|a||b|cosa,b

（2）两向量夹角公式：cosa,bab|a||b|

a （3）平面的法向量：与平面垂直的向量

二、知识讲解与典例分析

知识点1：异面直线所成的角（范围：(0,2]）

O b （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´

所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b

所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角

设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，

问题1：

当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b

所成

的角与a

和b

的夹角的关系？ a,b问题 2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b

所成的角

baOaOb与a

和b的夹角的关系？ a,b

结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为cos|cosm,n|思考：在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E1与F1分别为A1B1、

|mn||m||n|zD1

F1C1B1yC1D1的四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？

（1）方法总结：①几何法；②向量法

（2）cosDF1,BE1与cosDF1,E1B相等吗？

（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

知识点2、直线与平面所成的角（范围：[0,A1DE1CBAx2]）

思考：设平面的法向量为n，则n,BA与的关系？

AnOAABBO（图1）

BnO（图2）

2n,BAn,BA2据图分析可得：结论：

sin|cosn,AB|例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. z (1)求直线PA与底面ABCD所成角；

P

(2)求直线PB与平面PAD所成的角； (3)求直线PA与平面PBC所成的角. F

E 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量

2. 求出直线的方向向量

D 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角

解：（3）如图建立空间直角坐标系Dxyz，则平面PBCx 的法向量n(0,1,1)，PA(1,0,1),cos=值为A B y C 1,直线PA与平面PBC所成的角正弦21，所求角为30

2练习：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点.求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.

z

A1B1C1D1

知识点3：二面角（范围：[0,]）

AAxDyBBC①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中ABl,AB,CDl,CD.

结论：

B

|AB||CD|l C D

例3 、

如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线

（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为

a

和

b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图ACcoscosAB,CDABCDA a

，

BDb

，

CDc

，

ABd.

根据向量的加法法则, AB22ACCDDB.

dAB(ACCDDB)2

ACCDBD2(ACCDACDBCDDB)

222a2c2b22ACDB

a2c2b22CADB

于是，得2CADBa2b2c2d2

设向量CA与DB

的夹角为，就是库与水坝所成的二面角. 因此 2abcosa2b2c2d2.

a2b2c2d2.

所以 cos2aba2b2c2d2.

库底与水坝所成二面角的余弦值是2ab②法向量法

结论： 或

coscosn1,n2coscosn1,n2

例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (4)求二面角B-PA-D的大小; (5)求二面角C-PB-D的大小; P

(6)求二面角C-PB-A的大小. 解：(5)如图建立空间直角坐标系Dxyz，则

平面PBC的法向量D A B C F

E y n(0,1,1),PB(1,1,1),,DB(1,1,0)

设面PBD的法向量为m(x,y,z)，则有

xyz0，取x1，得y1,z0，m(1,1,0) xy01

2|m||n|1，该角为60. 2cosm,nmn又二面角C-PB-D为锐角，所求二面角的余弦值为

三、课堂小结

1．异面直线所成的角：cos|cosa,b| 2．直线和平面所成的角：sin|cosAB,n|

3．二面角：coscosn1,n2或coscosn1,n2. 四、布置作业： 课本112页A组1,4,6