3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计及教案分析

第三章

3.3

3.3.1

基础巩固

一、选择题

1．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(

) A．(－2，－1)

C．(1,2)

[答案]

B 2x＋3y＋8＝0，[解析]

解方程组

x－y－1＝0，x＝－1，得即交点坐标是(－1，－2)．

y＝－2，B．(－1，－2) D．(2,1)

2．经过两点A(－2,5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(

) 1A．(－，0)

31C．(，0)

3[答案]

A [解析]

过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐1标为(－，0)．

33．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(

) A．－2

C．2

[答案]

B x－y＝1[解析]

由得交点(－1，－2)，

2x＋3y＋8＝0B．(－3,0) D．(3,0) 1B．－

21D．

2

1代入x＋ky＝0得k＝－，故选B．

24．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点(

) A．(0,0)

C．(3,1)

[答案]

C [解析]

方程可化为y－1＝k(x－3)，即直线都通过定点(3,1)．

B．(0,1) D．(2,1)

35．经过直线2x＋y＋5＝0与x－3y＋4＝0的交点且斜率为－的直线的方程为(

) 19A．19x－3y＝0

C．9x＋19y＝0

[答案]

D 2x＋y＋5＝0，193333[解析]

由解得交点坐标(－，)，又k＝－，则方程为y－＝－7719719x－3y＋4＝0B．19x－9y＝0 D．3x＋19y＝0

19(x＋)，即3x＋19y＝0. 76．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(

) A．3x＋4y－5＝0

C．3x－4y＋5＝0

[答案]

B [解析]

在方程3x－4y＋5＝0中，用－y代替y，得3x＋4y＋5＝0即为所求直线的方程．

二、填空题

7．在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A_________；B_________；C_________. [答案]

(－2,1)

(1,0)

(2,5) [解析]

高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解．

8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝_________. 2[答案]

－2或－

32[解析]

由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－. 3三、解答题

9．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．

[分析]

解方程组得交点坐标，再根据点M在第四象限列出不等式组，解得m的取值范围．

x＋y－3m＝0，[解析]

由2x－y＋2m－1＝0，B．3x＋4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0

1，x＝m＋3得8m－1y＝3.

m＋18m－1∴交点M的坐标为(，)．

33∵交点M在第四象限，

1>0，m＋3∴8m－13<0，

1解得－1

810．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．

[解析]

解法1：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，

x0－3y0＋10＝0x0＝－4∴⇒，

－2x0＋2－y0－8＝0y0＝2

1－21∴kAP＝＝－，

40＋41故所求直线l的方程为：y＝－x＋1，

4即x＋4y－4＝0. 解法2：设所求直线l方程为：

y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于M、N. y＝kx＋110k－17解方程组⇒N(，) 3k－13k－1x－3y＋10＝0y＝kx＋18k＋27解方程组⇒M(，) k＋2k＋22x＋y－8＝0

∵M、N的中点为P(0,1)则有：

1771(＋)＝0⇒∴k＝－. 23k－1k＋24故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0. 解法3：设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有：

x1＋x2＝0，x2＝－x1，⇒

y＋y＝2y＝2－y.1221

代入l2的方程，得：

2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.

x1－3y1＋10＝0解方程组⇒M(－4,2)．

2x1＋y1＋6＝0

由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0. 解法4：同解法1，设A(x0，y0)，

x0－3y0＋10＝0，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1) 2x＋y＋6＝000

考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x＋4y－4＝0. 能力提升

一、选择题

1．已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为(

) A．4

C．±4

[答案]

B 44[解析]

由题意，l2与y轴的交点在l1上，又l2与y轴的交点为(0，)，所以A×0＋3×33＋C＝0，C＝－4.故选B．

2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(

) A．(－2，－3)

C．(2,3)

[答案]

C [解析]

将A、B、C、D四个选项代入x－y＋1＝0否定A、B，又MN与x＋2y－3＝0垂直，否定D，故选C．

3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(

) A．x－3y＋7＝0

C．2x－y＋7＝0

[答案]

B 3x＋y－1＝0，[解析]

由得交点(－1,4)．

x＋2y－7＝0，B．－4 D．与A有关

B．(2,1) D．(－2，－1) B．x－3y＋13＝0 D．3x－y－5＝0

∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，

11∴所求直线斜率k＝，∴y－4＝(x＋1)，

33即x－3y＋13＝0. 4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(

) A．24

C．0

[答案]

B m2[解析]

∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，45∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，

将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20. 二、填空题

5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是_________. 3[答案]

－

解方程组2x＋3y＝a，B．20 D．－4

3x＝2a＋7得a－2y＝7，

交点在第四象限，所以a－27<0，2a＋3>0，7

3解得－

2x＋3y＝1 [解析]

由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，

2a1＋3b1＝1，所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，

2a2＋3b2＝1，

所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1. 三、解答题

7．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程．

[解析]

(1)由题意BH与AC垂直，

1∴kBH·kAC＝kAC＝－1. 2∴kAC＝－2，

∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0. 2x－y－5＝0，解方程组

2x＋y－11＝0，

得点C的坐标为(4,3)．

x0＋5y0＋1(2)设B(x0，y0)，得M(，)，

22y0＋1于是有x0＋5－－5＝0，

2即2x0－y0－1＝0. 与x0－2y0－5＝0联立，

解得点B的坐标为(－1，－3)．

∴直线BC的方程为6x－5y－9＝0. 8．m为何值时，直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3＝2x－3my－4＝0不能围成三角形？

[解析]

(1)先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．

①若m≠0，则k1＝－4，k2＝－m，k3＝2，

3m1当m＝4时，k1＝k2；当m＝－时，k1＝k3；而k2与k3不可能相等．

6②若m＝0，则l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：2x－4＝0，这时三条直线能围成三角形．

1∴当m＝4或m＝－时，三条直线不能围成三角形．

6(2)再考虑三条直线共点的情况．

4将y＝－mx代入方程4x＋y－4＝0，得(4－m)x＝4，当m≠4时，x＝，即l1与l24－m4m812m2交于点P(，－)，将P点坐标代入l3的方程得＋－4＝0，解得m＝－14－m4－m4－m4－m2或m＝. 32∴m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点，不能围成三角形．

312综上所述，当m＝－1，－，，4时，三条直线不能围成三角形．

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