3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案设计

教学目标

1.知识与技能：

必修二第三章 3.1.1 倾斜角与斜率

（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.

2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.

3.情感态度价值观：

（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系

2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.

教学策略与方法

1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．

教学过程：[来源:Zxxk.Com]

（一）创设情境，揭示课题

问题1、给出的两点P,Q相同吗？如何区分这两个点？

从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。

从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）

问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点[来源:Zxxk.Com]

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在

平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）

以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

问题4、过点P与x轴形成45角的直线有几条？

（学生可能答一条或两条）

如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分l1与l2）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、

倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角0，叫做直线l的倾斜角。

ylPOx 学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出该图，问倾斜角在哪儿？如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

自然有倾斜角的范围是[0,180) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。

倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。（二）巩固旧知，同化新知

[来源:Zxxk.Com]

000

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？ 坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量[来源:学科网ZXXK]当坡角增大时，坡度如何变化？

当坡角90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即k000tan(90)

问题5、生活中坡角没钝角，当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

180(是锐角)ktantan(180)tan

如：倾斜角120，则斜率k3

问题6、当在[00,1800)内变化时，斜率k如何变化？

ylPOx

00<α<900k>0α=900k不存在900<α<1800k<0α=00k=0

问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1,P2的坐标来表1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2，能否用P示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1,P2及直线PP12，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

解：设直线PP12倾斜角为（90）当直线PP12方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2,y1)

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2，在RtP1P2Q中，

0

tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan，在l1,l2RtP1P2Q中，

tanQP2QP1y2y1yy1yy12（可让学生分组推导）

tan2x2x1x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyy1y2y1，即k2

x2x1x2x1[来源:学科网ZXXK]思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1,P2这两点坐标顺序有关系吗？2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（四）例题巩固

例1：已知A (3 , 2) ,

B (– 4 , 1) , C (0 , – 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。[来源学&科&网]

分析：kAB角为锐角。

一般结论：

11，其倾斜角为锐角；kBC，其倾斜角为钝角；kAC1，其倾斜72当k =

tan α < 0时，倾斜角α是钝角；当k =

tan α > 0时，倾斜角α是锐角；当k =

tan α = 0时，倾斜角α是0°。

例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1，– 1 ，2，及

– 3的直线l1，l2，l3及l4。

分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l1上的另外一点M，而M的坐标可以根据直线l1的斜率确定。

（五）课堂练习：

1、求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。

（1）A(3,2),B(4,1)（kAB（2）A(3,2),B(4,1)（kAB1）

71）

（3）A(3,2),B(3,1)（不存在）

（4）A(3,2),B(4,2)（kAB0）

2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,2的直线l1,l2

（六）归纳小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线的斜率公式：ktany2y1(x1x2)。

x2x1（七）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。