2.2.4 平面与平面平行的性质国家获奖教案

2.2.3

直线与平面平行的性质

2.2.4

平面与平面平行的性质

1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点) 2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

直线与平面平行的性质定理

阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．

自然语言

符号语言

图形语言

作用

证明两直线平行

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．(

) / 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．(

) (3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．(

) (4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．(

) 【解析】

由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；

由直线与平面平行的定义知(2)正确；

因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，

而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．

【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

教材整理2

平面与平面平行的性质定理

阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．

自然语言

符号语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

作用

证明两直线平行

已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是(

) A．平行

C．异面

B．相交

D．不确定

【解析】

由面面平行的性质定理可知a∥b. 【答案】

A

[小组合作型] /

线面平行性质定理的应用

2-15，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截

如图2-面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.

图2-2-15 【精彩点拨】

要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．

【自主解答】

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC，

平面ABC∩平面ABD＝AB，

∴EF∥AB. ∵AB⊄平面EFGH，

EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.

[再练一题] 1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1. /

求证：AA1∥EE1.

图2-2-16 【证明】

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，

∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，

∴AA1∥平面BCC1B1. ∵AA1⊂平面AEE1A1，

平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，

∴AA1∥EE1.

面面平行性质定理的应用

2-17，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之

如图2-间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

图2-2-17 (1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.

【精彩点拨】

(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．

(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD. 【自主解答】

(1)证明：∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD，

PAPC4315∴AB＝CD，∴5＝CD，∴CD＝4，

/

27∴PD＝PC＋CD＝4.

1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．

2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．

[再练一题] 2．如图2-2-18，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．

图2-2-18 【证明】

因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，

所以四边形ANC1M为平行四边形，

所以AN∥C1M且AN＝C1M，

1又C1M＝2A1C1，A1C1＝AC，

1所以AN＝2AC，所以N为AC的中点．

[探究共研型]

平行关系的综合应用

探究1

应用线面平行性质定理有什么技巧？

【提示】

应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到/

交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．

探究2

面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？

【提示】

两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．

探究3

你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？

【提示】

三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

图2-2-19 【精彩点拨】

用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B. 【自主解答】

如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，

/

CMCP∴MB＝PB. 1∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

CMDN∴MB＝NB，

1CPDN∴PB＝NB，

∴NP∥CD∥AB. ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.

1．三种平行关系的转化

要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

2．面面平行的性质定理的几个推论

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．

(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

[再练一题] 3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/

∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.

图2-2-20 【证明】

因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF. 因为AB∥CD，所以CD∥AF，

所以AFCD为平行四边形．

所以FC∥AD. 又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

所以FC∥平面ADD1A1. 因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是(

)

图2-2-21 A．AE⊥CG

B．AE与CG是异面直线

C．四边形AEC1F是正方形

/

D．AE∥平面BC1F

【解析】

由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D. 【答案】

D 2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(

)

图2-2-22 A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

B

[∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，∴MN∥PA.] 3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.

【解析】

由直线与平面平行的性质定理知l∥m. 【答案】

平行

4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．

【解析】

两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平PAAC面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以PB＝BD，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12. 【答案】

12 /

5．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.

图2-2-23 【证明】

因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD. 同理可证AB∥EF，

所以CD∥EF. 学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题

1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(

) A．至少有一条

C．有且只有一条

B．至多有一条

D．没有

【解析】

过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B. 【答案】

B 2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(

) A．平行

C．异面

B．相交

D．平行或异面

【解析】

条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，

又a与α无公共点，故选C. 【答案】

C 3．下列命题中不正确的是(

) A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β

/

B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β

C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线

【解析】

选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A. 【答案】

A 4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是(

)

图2-2-24 A．平行

C．异面

B．相交

D．平行或异面

【解析】

由长方体性质知：EF∥平面ABCD，

∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，

∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A. 【答案】

A 5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C(

) A．不共面

B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．无论点A，B如何移动都共面

【解析】

无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．

/

【答案】

D 二、填空题

6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

图2-2-25 【解析】

因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，

平面AB1C∩平面ABCD＝AC，

所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，

1所以点F是CD的中点，所以EF＝2AC＝2. 【答案】

2 7．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.

图2-2-26 【解析】

EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8. AF×BC3×43EFAF又BC＝AC，∴EF＝AC＝8＝2. 3【答案】

2

三、解答题

8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．

/

图2-2-27 【证明】

∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD. ∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，

∴BC∥平面APD. 又平面BCFE∩平面APD＝EF，

∴BC∥EF，∴AD∥EF. 又E，F是△APD边上的点，

∴EF≠AD，∴EF≠BC. ∴四边形BCFE是梯形．

9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，AMDNBD上的点，且SM＝NB，求证：MN∥平面SBC.

图2-2-28 APAM【证明】

在AB上取一点P，使BP＝SM，连接MP，NP，则MP∥SB. ∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC. AMDNAPDN又SM＝NB，∴BP＝NB，∴NP∥AD. ∵AD∥BC，∴NP∥BC. 又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，

∴NP∥平面SBC. 又MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面SBC. /

[能力提升] 10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是(

) A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

【解析】

对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.

图(1)

图(2)

图(3) 【答案】

C 11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.

图2-2-29 【解】

如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.

因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB/

∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，

所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF. 又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.

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