习题2.1教学设计实例

曲线与方程----求轨迹方程

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤：

（1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为x,y，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：从已知条件中发掘x,y的关系，列出方程

（4）化简：将方程进行变形化简，并求出x,y的范围

2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到x,y的关系，列出方程后化简即可

（2）代入法：所求点Px,y与某已知曲线Fx0,y00上一点Qx0,y0存在某种关系，则可根据条件用x,y表示出x0,y0，然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于x,y的方程

（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：

①

圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

直角→圆：若ABAC，则A点在以BC为直径的圆上

确定方程的要素：圆心坐标a,b，半径r

②

椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹

确定方程的要素：距离和2a，定点距离2c

③

双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹

注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支

确定方程的要素：距离差的绝对值2a，定点距离2c

④

抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹

确定方程的要素：焦准距：p.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

1

（4）参数法：从条件中无法直接找到x,y的联系，但可通过一辅助变量k，分别找到x,y与k的联系，从而得xfk到x,y和k的方程：，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得到轨迹方程. ygk【经典例题】

例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B）,线段CDAB,且满足，则点C的运动轨迹为（ ）

CD2ADBD（是大于0且不等于1的常数）

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

【答案】B

例2.设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x+2x+y=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（

）

A. 双曲线的一支 B. 椭圆

C. 抛物线 D. 射线

【答案】D 2【解析】圆的标准方程为x1y1，

222如图所示，设圆心坐标为A'，满足题意的点为点P，由题意有：

PA'1PA1，则PA'PA2AA'，

2

设B2,0，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB. 本题选择D选项.

例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．

A. C. 【答案】B B. D.

2例4.已知直线ykxm与抛物线y2x交于A,B两点，且OAOBOAOB，其中O为坐标原点，若OMAB于M，则点M的轨迹方程为（ ）

222A. xy2 B. x1y1 22 C. xy11 D. x1y4

222【答案】B 3

【解析】思路：先处理条件OAOBOAOB可得由OA,OB为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OAOB，设Ax1,y1,Bx2,y2，即x1x2y1y20，联立直线与抛物线方程并利

ykxmky2mky22y2m0 联立方程：2，消去x可得：y2y2x22my12y2m22mm2y1y22 20，由km0可得m2k x1x2k4kkkl:ykxmkx2kkx2，即直线过定点C2,0 OMAB即OMCM M的轨迹为以OC为直径的圆

则该圆的圆心为1,0，半径r1 轨迹方程为x1y21 答案：B 例5.点是圆方程是___．

上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹2【答案】

，所以，

【解析】由垂直平分线的性质有又，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是C，F为焦点，以4为实轴长的双曲线，

，，

所以点Q的轨迹方程是. 2例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l过抛物线C：

y4x的焦点，

l与C交于A，

B两4

点，过点A，

B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为________. 【答案】x1

y1，故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x1，故答案为x1. x2y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，例7.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2点P满足NP2NM. (1)

求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【答案】(1) xy2.(2)证明略. 【解析】

225

（2）由题意知F1,0.设Q3,t,Pm,n,则

OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn，

OPm,n,PQ3m,tn. 2222由OPPQ1得3mmtnn1，又由（1）知mn2，故

33mtn0. 所以OQPF0，即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 例8.已知抛物线：两点. （I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 【答案】（I）详见解析；（II）．

的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q【解析】由题设.设，则，且

6

. 记过两点的直线为，则的方程为在线段，上，故的斜率为. ，则

. （I）由于记的斜率为

当与轴不垂直时，由可得.而，所以. 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为（. ）与圆心在坐标原点，半径为的例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：交于，两点，且（1）求抛物线及（2）设点为劣弧，的方程；

，其中，，均为正实数. 上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，7

,由直线和曲线相切得到，：，

同理：

解析：

（1）由题意，，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹. ，故. 。

所以抛物线的方程为将因此代入抛物线方程，解得，

，

令，解得，

故：，

同理：

. 8

则由

解得因直线

，. 则由得

，

则

因此根据点在圆上满足方程，消参得到. 22例10：如图所示，点N在圆xy4上运动，DNx轴，点M在DN的延长线上，且DMDN0 （1）求点M的轨迹方恒，并求当为何值时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆 （2）当1x时，在（1）中所得曲线记为C，已知直线l:y1，P是l上的动点，射线OP（O为坐标222原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足OQOPOR，求点Q的轨迹方程

9

设Mx,y,Nx0,y0 DM0,y,DN0,y0 DMDN yy0 x0xxx0DNx轴 xx0 1①

yyy0y022由N在xy4上可知：x0y04，代入①可得：

22设OPOQ进而得到Qx,y与Px1,y1的联系：t，x1tx2，再寻找Q,R的联系，结合条件OQOPORy1ty22x2y222，从而用t即可表示出Qx,y与Rx2,y2的联系（而不用再设字母）可知t：2OQxyOQOPOR222x2tx.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t即可得到Q的轨迹方程

22yty2x2y21

解：由（1）可得曲线方程为：410

设Px1,y1,Rx2,y2,Qx,y 设OQOPOR

2OPOQt 由线段比例可得：OPOQtx1y1 xyx1tx yty122x2y2由OQOPOR同理可得：t22 2OQxyOQ2OPOR222x2tx2

2y2ty222x1txx1x2x2tx2P,R分别在直线与椭圆上 y11,y21，代入,2可得：

224y2tyy1tytxty1txtx22tyty2，化简可得：Q的轨迹方程为：

224txty214x22x4y24y0. 【精选精练】

1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

2．【2018届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线为A. 中点，作为定值 B. ，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）

为定值 11

焦点，交抛物线于，两点，点

C. 点的轨迹为圆的一部分 D. 点的轨迹是圆的一部分

【答案】C 【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为，

由设消去y整理得，

，

则，

∴．

选项A中，，为定值．故A正确．

选项B中，，为定值，故B正确．

选项C中，由选项D中，由于综上选C． 消去k得，直线过定点，故点的轨迹不是圆的一部分，所以C不正确．

，所以点Q在以为直径的圆上，故D正确．

3．【2018届江西省监测】已知向量OA，

OB满足OAOB1，

OAOB0，

OCOAOB

,R，若M为AB的中点，并且MC221，则点,的轨迹方程是（ ）

21112A. 1 B. 11

22211C. 111 D. 1

22222212

4．如图，在圆x2y28上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，

D为垂足. 当点P在圆上运动时，满足PDtMD

t2的动点M的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）

A. 0,3311 B. C. D.

,10,,12242【答案】D 【解析】设Mx,y，则Px,ty，代入圆的方程xty22x2t2y28，即1，∵t2，∴动点M的轨88222迹是焦点在x轴上的椭圆，其中a8，

b88c22c8，则，故而可得e222tta88t211t2，8t233,1故e,1，即e，故选D. 2425．点P(4，－2)与圆x＋y＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A. (x＋2)＋(y－1)＝1 B. (x－2)＋(y＋1)＝4 C. (x＋4)＋(y－2)＝4 D. (x－2)＋(y＋1)＝1 【答案】D 222222222213

6．【2018届广西二模】设为椭圆，则点的轨迹方程为（ ）

A. 【答案】B B. 上任意一点，，，延长至点，使得 C. D.

【解析】

为椭圆上任意一点,且A,B为焦点，，所以点的轨迹方程为.

，又，7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( ) A. B.

C. 【答案】D D.

14

8．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:圆M上除、外的一个动点，若且长轴上的两个顶点为、，点P为椭，则动点Q在下列哪种曲线上运动( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

【答案】B 【解析】设P（m，n），Q（x，y）

∵椭圆M的方程为，

∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）

∴∵=（x+a，y），=（m+a，n）

①

=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣15

此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选B.

x2y2P的轨迹是9.已知椭圆221ab0,M为椭圆上一动点，

F1为椭圆的左焦点则线段MF1的中点ab（ ）

A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段

【答案】A （【解析】设M（acos，bsin）F（，0），线段MF1的中点P1cacoscbsin，）， 22acosc2xc2y2，sin，{

，

cos bsinaby2x16

cxy22∴点P的轨迹方程为 2＝1，2ab44P

的轨迹是椭圆．

∴线段MF1

的中点故选A．

10.过圆

：的轨迹为 . （1）求

的方程；

上的点

作

轴的垂线，垂足为

，点

满足 .当

在

上运动时，记点

2【答案】（1）【解析】试题分析：

（1）设点坐标，点坐标，由题意可得点坐标为满足则点的轨迹的方程为．

11.已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为17

，求直线的方程．

【答案】(1)见解析;(2)【解析】分析：（1）直接利用. ，列出方程即可求出点M的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；

（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

详解：（1）

由化简得：得，轨迹为圆 符合题意；

.

（2）当直线的斜率不存在时，直线

当直线的斜率存在时，设的方程为：由圆心到直线的距离等于此时直线的方程为：2得212.已知圆C:x2y5，直线l:mxy12m0，

mR. （1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线. 1111【答案】(1)见解析(2) M的轨迹方程是x2y，它是一个以2,为圆心，以为半径的222422圆

试题解析：

2证明：（1）圆C:x2y5的圆心为C2,0，半径为5，

2所以圆心C到直线l:mxy12m0的距离2m12m1m211m25. 所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；

18

（2）设中点为Mx,y，

11所以M的轨迹方程是x2y，

2422它是一个以2,为圆心，以

121为半径的圆. 219