3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计实例

2010年下平江七中高二数学课堂教学教案

课 时

1 1. 掌握空间向量数量积公式及向量的夹角公式。

知识与技能

2.

运用公式解决立体几何中的有关问题。

1、比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

教过程与方法

2、探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解学决问题的能力。

目

1、通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教标

学模式；

情感态度与价值2、通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，观

培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

教学重点

空间向量数量积公式及其应用

如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解教学难点

决立体几

何问题

教学过程

教 学 内 容

教学设计

【知识链接】

1、什么是平面向量a与b的数量积？

2、在边长为1的正三角形⊿ABC中，求ABBC

课 题

§3.1.3．空间向量的数量积

【阅读教材】

预习教材P90~ P92，找出疑惑之处

【自主学习】

3、已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)

新知：

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间

一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

. 试试：

⑴

范围:

a,b

a,b=0时,a与b

;a,b=π时,a与b

⑵

a,bb,a成立吗？

⑶a,b

，则称a与b互相垂直，记作

.

2) 向量的数量积：

已知向量a,b，则

叫做a,b的数量积，记作ab，即ab

. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：

⑴

两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵

你能说出ab的几何意义吗？

数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积.

已知向量ABa和直线l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；

可

的AB|AB||AB|cosa,e|ae|

以证明长度e

B

A

B

C

A

【合作探究】

※

知识检测

4、下列命题中：

①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

正确有个数为（

）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

小结：

3)

空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量e，则ae|a|cosa,e．

（2）abab

．

（3）aa

＝

.

4) 空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）

5、已知空间四边形ABCD的每条边与对角线长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积：

22

（1）ABAC

（2）ADBD

（3）FGBA

（4）GEGF

D

A

C

B

小结：

※

能力达标

6．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（

）

A.

60°

B.

90°

C.

105°

D.

75°

小结：

【拓展提高】

7．已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段AC,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离

小结：

【达标练习】

11、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为的是（

）

A. e1e2

B. e1e2

C. e1

D. e2

A,B,C所对的边为a,b,c，2、已知ABC中，且a3,b1,C30,，则下面向量中与2e2e1垂直3则BCCA=

3、已知a4，b2，且a和b不共线，当

ab与ab的夹角是锐角时，的取值范围是

.

4、已知向量

a,b满足a4，b2，ab3，则ab____

课堂小结

1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 1、

已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC

2、如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，AB4,AD3,AA'5,BAD90,BAA'= DAA'=60°,求AC'的长

课堂作业

教学反思