3.3.1 两条直线的交点坐标教案设计（一等奖）

一、学习目标

1．掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程的系数判定解的情况．

2．当两条直线相交时，会求交点坐标．

3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能灵活运用此公式解决一些简单问题．

4．体会坐标法对于解平面几何问题的重要性

二、课前导学

1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为______坐标的点就是交点．

2．两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝________________.x2－x12＋y2－y12

练习1.直线l1：x＝－1，l2：x＝2的位置关系为：______.平行

练习2.(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为：______.3 (2)已知两点A(2,5)，B(3,7)，则|AB|的值为______．(3)P(x，y)到原点O(0,0)的距离d＝__________.3、如何利用方程判断两直线的位置关系？

解析：只要将两条直线l1和l2的方程联立，得方程组

(1)若方程组无解，则l1∥l2；

(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；

(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．

三、合作探究

题型一

求两直线的交点5

x2＋y2

例1、直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．

5x＋4y－2m－1＝0，解析：由方程组2x＋3y－m＝0，

2m＋3x＝7，得m－2y＝7.

∴两直线的交点坐标为2m＋37>0，∴m－27<02m＋3，m－2. 77∵此交点在第四象限，

3故所求m的取值范围是－2，2.

3⇒－

题型二、直线过定点问题

例2、求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点

证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；

1

2再取m＝

，直线为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)．

将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5. 故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．

法二：把原方程整理得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，

此方程对任意实数m都成立，则必有x＝9，x＋2y－1＝0，



y＝－4.x＋y－5＝0.

,解得

∴无论m取何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．

点评：法二的解法即方程ax＋b＝0对x∈R恒成立时成立的条件：a＝b＝0. 题型三、两点间的距离公式及解法

例3、已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0),求证：△ABC为等腰三角形

证明：∵|AB|＝4－22＋3－12＝22 |AC|＝0－22＋5－12＝25 |BC|＝5－32＋0－42＝25 ∴|AC|＝|BC| 又∵A、B、C三点不共线

∴△ABC为等腰三解形．

题型四、对称问题

例4、一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．

解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

ab8×2＋6×2＝25∴A的坐标为(4,3)．

又由反射光线过P(－4,3)，

b4·－＝－1a3

a＝4，解得，

b＝3

∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，

又由反射光线过P(－4,3)，

两点纵坐标相等，

故反射光线所在直线方程为y＝3. x＝8y＝3由方程组，解得8x＋6y＝25

7y＝3

，

由于反射光线为射线，

7故反射光线的方程为y＝3(x≤)．

8

点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．

(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组

x＋xy＋yA·2＋B·2＋C＝000y－y0A·－＝－1AB≠0Bx－x0

求得．

(2)常用对称的特例有：

①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；

②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；

③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；

④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；

⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b).

四、课堂检测

1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是(

) A．(－2,1)

B．(－3,2) C．(2，－1)

D．(3，－2) 2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(

) 1

2A．－2

B．－

C．2

D. 解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－

. 答案：B

3．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(

) A．(2,3)

B．(－2,3) C.

1，－1

2

D．(－2,0) 解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．

答案：B

4．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为(

) A．a－b

B．b－a

a2＋b2

C.

D．|a－b| 5．以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是(

) A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

解析：|AB|＝|AC|＝

五、课堂小结

17

，|BC|＝

18

，故△ABC为等腰三角形．

1．关于两条直线相交的判定：

(1)两直线组成的方程组有惟一解，则两直线相交．

(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．

2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．

3．对于特殊情况，可结合图形求解．

(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；

(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；

(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12

＝x2－x12＋kx2－kx12＝1＋k2·|x2－x1|.