3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

《导数的几何意义》教学设计

教

材:

人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1 一、

教学内容解析

1、教材分析

《导数的几何意义》是人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》§3.1.3的内容，本节课为第一课时。

微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。

2、教学重点与难点

教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

教学难点：发现和理解导数的几何意义；逼近思想，以直代曲的思想。

二、教学目标

（一）知识与技能：

（1）会描述一般曲线的切线定义；

（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。

（二）过程与方法：

（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；

（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

（三）情感态度与价值观：

领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。

三、学生学情分析

从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。

从学习能力上看，教学对象是高二文科班的学生，相对思维不活跃，但是具有一定的想象能力和研究问题的能力。

从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。教师需创设问题情境，采用类比的方法，引导学生在概念上上升一个层次，由割线的逼近来定义一般曲线的切线，从而突破教学难点：“逼近”思想。

四、教学策略分析 1、教法分析：“启发探究式”教学法，教学中遵循教师主导、学生主体、探究主线，教师更多的是启发引导学生的思维。

1

2、学法指导：（1）自主学习 （2）合作学习 （3）探究学习

对于活动一：形成一般曲线的定义，我先创设问题情境，引起学生对切线问题的注意与思考，接着引导学生开展观察——感知——实验——类比——概括的活动。

对于活动二：发现导数的几何意义，我采用探究发现法教学。依据知识的发生发展过程和学生的思维n在点P处的切线”由定性规律，我设计“问题串”以启发引导学生思考，将“过定点P的割线PP刻画上升为定量刻画，进而发现了导数f'(x0)的几何意义，同时，设计以导数为支撑和联结点的知识网络图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。并且利用学案让学生动手作图进行探究，再利用动画和几何画板的展示，从而使学生更好的理解割线与切线的关系。

整个过程注重学生的参与意识，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习，激发学生勇于探索、勤于思考的精神。教学过程中，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。 充分利用现代多媒体技术辅助教学，通过几何画板和flash动画的动态演示，让学生充分体会逼近的思想方法，这能使学生更好的理解导数的几何意义，从而突出重点，突破难点。

五、教学过程

教学流程图

课后作业

感受

理解 运用

实践

反馈升华

画龙点睛：从知识、方法、思想三个方面进行总结

应用拓展

探索建构

活动一：形成一般曲线的切线定义 活动二：发现导数的几何意义和完善知识网络图

活动三：形成“以直代曲”的思想

例1：思维最近发展区内的学习任务，巩固导数的几何意义，生成以直代曲的思想；例2：加深导数几何意义的理解

情境引入

复***均变化率及几何意义；导数的概念、求函数导数的步骤。

2

时间

教学内容

回忆：我们是怎样一步步教师活动

讲授：前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”途径来解读导数，即导数的几何意义。

今天，我们从切线问题入手，开始学习。

学生活动

答：先学***均变化率设计意图

由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题。

情境抽象出导数的概念的？

2 分

引钟

fx0xf(x0)，令xx0，得到瞬时变化率fx0xf(x0)，接limx0x着定义为导数f(x0)。

入

形成一

(1)初中时，我们怎样定义圆的切线和割线？

般曲线(2) 图1 l1是否为曲线在点A处的切线?

6 分

的切线? 切钟

l2是否为曲线在点C处

线的切线? 的l2是否为曲线在点B处定义

启发：以前的切线定义不适用于一般曲线。我们能不能换个角度来观察圆的割线和切线？

启发:学生用动态的眼光观察圆的割线和切线;

引导:学生结合前面探究的经验。

旧知：

①当t0，平均速度趋近于确定的值，这个确定的值就是瞬时速度。

②当x0，平均变化率趋近于确定的值，这个确定的值就是瞬时变化率。

追问学生形成概念的思路。

完成学案活动一

活动二

答：如果直线和圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线；若有两个交点，则这条直线叫做圆的割线。

答：我觉得l1不是曲线在点PnP切线，A处的切线；对于l2，我就讲授：割线

图2

体现了逼近的思想，量变与质变的辩证关系。

利用几何画板进行动态展示

不敢确定。

在学生思维“最近发展区”中提问，先唤起学生的回忆，然后以问题引领学生来到新知识的生成场景中。

问题（2）的设置不仅否定了“从交点个数来定义切线”的这种推广，而且引发学生认知冲突，极大地激发了学生的学习兴趣和探究欲望。

3

(3)

你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，寻求一般曲线的切线？

学案上完成活动三：

让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生发展P答：当P时，割线趋n过程，上升理于确定的位置，这个确定位性思维，形成置上的直线就是曲线在点切线定义，从P处的切线。

而突破教学

难点：“逼近”思想。

学生口答前面的问题（2）

使学生加深对切线定义的理解，消除之前的认知冲突。

问：刚才从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，进一步，如何用数量关系来表示这种变化？

引导：

答：割线逼近切线，用代数刻画就是研究割线方程和切线方程的关系。

答：由图可知，割线经过点

学生经历由定性刻画到定量刻画的过程，逐步学会数学探究的一般思想方法，从而提高学生的数学思维能力

发现导几何直观： 数过定点P的割线PPn

1PnP的

3 分

在点P处的切线

几

代数刻画：

设点P(x0,y0)P，n(xn,yn)又因为这两点都在曲线f(x)上，所以P和点Pn，只要设出这两何意 义

？

P(x0,f(x0)),Pn(xn,f(xn))

点的坐标就可以了。

对应上节课的记法，xn可以

用x0x表示，所以

Pn(x0x,f(x0x))。

问：有了点的坐标，如何从

坐标的变化，由割线的斜率

得到p的切线的斜率？

4

1、如何写出割线PP的n

斜率？

2、过定点P的割线PPn

逼近切线的过程中，割线追问：你是怎么得出切线斜率的？

PPn方程的哪个部分的

发值发生变化？变化的最

终结果是什么？

现

3、如何写出切线斜率？

导追问：为什么它是切线的斜

率？

数4、导数f(x0)的几何意

义是什么？

的

几

何

意

义

5

思考：

(充分讨论后，学生回答并作出解释)

以问题串的形式启发引导学生思考，

fxxfx0答：1、0

让学生经历x从已知到未2、过定点P的割线PPn逼知，步步深入近切线的过程中，对应方程的过程。

f(x0x)f(x0)中的值x

会发生变化;

当P，Pn

即x0时，变化的最终

结果是

请不同的同f(x0x)f(x0)limf'(x0)x0x学发言回答3、切线的斜率就是

问题和做出f(x0x)f(x0)解释，提高学lim

x0生的概括能x

力和表达能答：因为在割线方程中，这力。

f(x0x)f(x0)（）部分x

是割线斜率，根据割线逼近

切线，所以割线斜率逼近切以导数为支线斜率。

撑和联结点，引导学生从f(x)答：4、导数0的几何不同的角度对其加以认意义是函数f(x)的图像在识；同时，网络化的知识xx0处切线的斜率。

给联想提供答：割线斜率，切线斜率

线索和桥梁。

初

（1）若曲线y=f(x)在点

P(x0,f(x0))处的切线方2 步

分

程为2xy10，则钟

应

f(x0)

.

用

了解以直代曲思想

1 应

把点P附近函数的图象放3

大，引导学生理解以直代分

钟

用

曲思想是指某点附近一

个很小的研究区域内，曲

PP拓

线与切线的变化趋势基

本一致，故可由曲线

展

上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

所示，已知f5＝-1,则曲

线在点P处的切线斜率k____．

问：这种一致性是直观的。

进一步，我们能不能用数量答：在切点附近，曲线和切关系来刻画这种一致性？

线的变化趋势是一致的。

答：斜率k反映切线的升降讲授：正由于“数”上的等，变化情况，导数f'(x0)反映解释了“形”上的一致性。

函数在x0附近的变化情况，

讲授：正由于相等，所以在而kf'(x0)，所以反映在P点附近，切线是最贴近曲线的那条直线。

图形上他们的升降变化情

况是一致的。

讲授：因此在点P附近，曲数

形

线f(x)可以用在点P处的(2)函数y＝fx的图象如图切线近似代替。我们把这种思想称为“以直代曲”的思想。

以前在算法中，刘徽的割圆术用的就是“以直代曲”，“逼近”的思想来计算圆周率。在这里“以直代曲”的作用是：若要分析曲线在x0附近的变化情况，只

培养同学们数形结合的能力；还为后面引出“以直代曲”的思想做准备。

将图像放大，引导学生观察分析，获取直观感觉，再从“数”方面分析，培养学生严谨的数学思维习惯。

突出数形结合的思想。

用关系图将之间的关系显现出来，学生的思维更加清晰。

6

例

题

讲

解

例1

如图, 它表示跳水

运动中高度随时间变化

7分

钟

的函数

h(t)4.9t26.5t10

的图象. 根据图象, 请描

述、比较曲线h(t)在有作出在x0处切线，分析该切线，得出k，即知道从而知道曲线在该f'(x0)，点处升降变化情况。

活动：利用几何画板进行动态展示

1、在t0,t1,t2附近：用什么代替？

2、描述变化情况：怎么描述？

3、比较变化情况：用什么数据来进行比较？

归纳总结：根据导数的几何意义，当某点处导数（切线斜率）大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即t0,t1,t2附近的变化情况

函数在这点附近是单调递增；当某点处导数（切线斜

率）小于零时，说明在这点练习：1根据图像描述函的附近曲线是下降的，即函

数h(t)

在t3,t4附近增数在这点附近是单调递减；切线倾斜程度越大（小）（减）以及增（减）快慢曲线在某点处的上升（或下的情况

降）越快（慢）

2、已知函数yf(x)的

图象如图所示则f(xA)

与f(xB)的大小关系是

7

学生通过学案上问题的引导在图上作切线，并找到解决问题的方法

学生用实物投影仪投影自己“学案”上答案并解释

学生自主完成

并由学生发言回答问题

从“形”到“数”，一步步深入，最后生成“以直代曲”的思想，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。

提供应用性情境，促进知识技能的迁移。

让学生会利用导数的几何意义解决实际生活问题，突出本节课的教学重点。

通过例题的分析，掌握了分析问题和解决问题的方法，进行知识的迁移，得到巩固

A.f(xA)f(xB)

B.f(xA)f(xB)

C.f(xA)f(xB)

D.不能确定

学案上引导：

例2、求曲线y=f(x)=x2+1第一步：求x1处导数

在点P(1,2)处的切线方程. 通过例2，让f(1)

解:yf(1x)f(1)

学生在掌握

了应用原理=(1x)21(11)①yf(1x)f(1)

的基础上，掌2=2x(x)y握函数的切②=

线的求解方xy2x(x)2y2x

法。通过解题③k切线=f(1)lim=

xxx0x问题的分析

和解题的规ylim第二步：利用点斜式写出切得f(x0)范，培养学生x0x

线方程

思考数学问lim(2x）=2x0

题的逻辑性对学生展示的成果进行点所以

在点P(1,2)处的切线和严谨性。

评

斜率kf(x0)2

切线方程：y22(x1)

归纳:求切线方程的步骤

即：2xy0

（1）求出函数在点x0处的

导数

f(x0)，得到曲线在

点(x0,f(x0))的切线的斜利用投影展示完成成果

率。

（2）根据直线方程的点斜

式写出切线方程，即

yf(x0)f(x0)(xx0).

8

学生通过学案的引导自主完成

反

教师引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结。

讲授：本节课我们从不同的角度解读了导数，通过类比方法，观察和实验、由特殊到一般学习了切线的定义和导数的几何意义，体会了逼近的思想和以直代曲的思想，同时，转化思想和数形结合的思想贯穿始终。

馈

升

课堂小结：

3 分

华

请说一说你这节课印象最深的部分。

钟

学生自由说出自己这节课印象最深的一部分。

让学生自主理清思路，进一步实现自我评价。

并且从知识到思想的跨越

布置可选择的作业集合，以满足不同学生的不同需求。

通过实践作业，调动学生的学习兴趣以，感受一门数学学科创立的伟大，从身边挖掘数学例子，体会数学来源与生活右高于生活

课后作业

1、习题3.1 A组 第5题

2、曲线f(x)2x2在点A(2,8)处的切线斜率为

3、曲线yx在点（1,1）处的切线方程是

4、实践作业

收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料；数学史上、实际生活中、身边的有关“以直代曲”的事例

9

板书

§1.1.3导数的几何意义

一、切线的定义

n切线

割线P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))

割线PPn方程：

yf(x0)f(x0x)f(x0)(xx0)

xPP （逼近思想）

二、导数的几何意义

fx0xf(x0)k

x投影屏幕

①平均变化率 （割线斜率）

x0

②瞬时变化率 (切线斜率)

limfx0xf(x0)f(x0)

xfx0xf(x0)

x1.f(x0)limx0k为曲线在xx0处切线的斜率

2.“以直代曲”的思想

x0

六、说教后反思

1、注重以学生为主体，每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，体现了教师主导、学生主体、探究主线的特色。

2、依据知识的发生发展过程和学生的思维规律,运用最近发展区的理念对教材进行二次开发。体现在：

①创设问题情境，引导学生认识切线定义，由静态的发展为动态的；

②活动中，问题串的形式引导学生思考，最终得出导数的几何意义；

③延续前面的探究，利用几何画板进行研究，生成了“以直代曲”的思想。

3、注重思想方法的渗透，从而提高学生的数学思维能力。

4、设计以导数为支撑和联结点的知识网络图，构建前后一致逻辑连贯的数学学习过程。

5、特别发挥几何画板的直观性和触屏白板的易操作性，使重点得以突出，难点得以突破，提高了课堂的效率。

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