1.3.3 非（not）教学内容分析

教学准备 1.

教学目标 1.知识与技能

（1）了解逻辑联结词“非”的意义，会写一个命题的否定命题，能判断命题的真假．

（2）会对含有全称量词、存在量词的全称命题、存在性命题进行否定．

2．过程与方法

（1）通过对否定命题、全称命题与存在性命题否定的学习，体会从特殊到一般的探索性学习方法．

（2）通过学习，体会命题间的逻辑关系．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，让学生体会到探索的乐趣，培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断和逻辑思维能力．

2.

教学重点/难点 重点：了解“非”的含义，学会用逻辑联结词有效的表达相关的数学内容．

难点：全称命题、存在性命题的否定．

3.

教学用具 多媒体

4.

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教学过程 一、新知探究

知识点1

逻辑联结词“非”

1．逻辑联结词“非”的含义

逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的全面”等抽象而来．

2．由逻辑联结词“非”构成的新命题

“非”：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．

3．含有“非”的命题的真假判断

知识点2

全称命题和存在性命题的否定

1．存在性命题p：x∈A，p(x)．

它的否定是：綈p：x∈A，綈p(x)．

2．全称命题q：x∈A，q(x)．

它的否定是：綈q：x∈A，綈q(x). 二、典例精讲

题型1

命题的否定

写出下列各命题的否定，并判断真假：

（1）p：空集是任何非空集合的真子集．

（2）q：一元二次方程至少有一个解；

（3）r：3≥1. 【解析】

（1）綈p：空集不是任何非空集合的真子集．真命题，

（2）綈q：一元二次方程没有一个解，假命题．

（3）綈r：3<1，假命题．

【小结】易混的正面叙述词语及它的否定如下表：

三、变式训练

写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）p：y＝cosx是周期函数；

（2）q：负数的平方都是正数；

（3）r：5<4. 【解】

（1）綈p：y＝cos x不是周期函数，假命题．

（2）綈q：负数的平方不都是正数，假命题．

（3）綈r：5≥4，真命题. 题型2

全称命题和存在性命题的否定

例2.写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：x∈R，x2＋1<0；

（2）q：每一个对角互补的四边形有外接圆；

（3）r：有些菱形的对角线互相垂直；

（4）s：所有能被3整除的整数是奇数．

【解析】

（1）綈p：x∈R，x2＋1≥0.(真) （2）綈q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假) （3）綈r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)

（4）綈s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真) 【小结】全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题．

变式训练：写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；

（2）p：有些三角形的三条边相等；

（3）p：菱形的对角线互相垂直；

（4）p：存在一个实数x，使得3x＜0. 【解】

（1）綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故綈p为假命题．

（2）綈p：所有三角形的三条边不全相等，显然綈p为假命题．

（3）綈p：有的菱形的对角线不垂直，显然綈p为假命题．

（4）綈p：对于所有实数x，都满足3x≥0，显然綈p为真命题. 题型3 特称命题、全称命题的综合应用

例3.已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．

【解析】在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，

故p的取值范围是－3

【小结】通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．

四、当堂检测

1．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是

(

) A．某些平行四边形不是矩形

B．任何平行四边形是矩形

C．每一个平行四边形都不是矩形

D．以上都不对

【答案】

C 2．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为() A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0 【解析】

因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．

【答案】

D 3．命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是________．

【解析】

特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是“∀x∈R，x2－2x≠0”．

【答案】

∀x∈R，x2－2x≠0 4．已知命题p，q，写出“p∨q”“p∧q”“綈p”，并判断真假．

（1）p：2是偶数，q：2是质数；

（2）p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．

【解】

（1）p∨q：2是偶数或质数，真命题．

p∧q：2是偶数且是质数，真命题．

綈p：2不是偶数，假命题．

（2）p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

∵p：梯形有一组对边平行是真命题，

∴命题p∨q是真命题．

p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

∵q：梯形有一组对边相等是假命题，

∴p∧q是假命题．

綈p：梯形没有一组对边平行．

∵p为真，∴綈p是假命题.

课堂小结 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

（1）确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．

（2）改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．

（3）否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

（4）无量词的全称命题要先补回量词再否定.

板书 非