1.1.3 四种命题间的相互关系教学内容分析

《四种命题的关系》 教学设计

一、知识回顾：

1、三个概念



交换原命题的条件和结论，所得的命题是________ 。



同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______。



注意：区分否命题和命题的否定



交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________ 。

2、四种命题形式

原命题: 若 p, 则 q 逆命题:

若 q, 则 p

否命题:若

p, 则q

逆否命题:若

q, 则p

二、新课导入

【小故事】 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.

小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“树长在路边,如果李子不是苦的, 就不会有这么多李子！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”

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下面让我们进入今天的学习

【新知探究一】

对于下列命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

【形成结论】

原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系：

原命题：若

p则q

互逆

逆命题：若q则p

互

互否

为

逆

否

互否

为

逆

互

互逆

否

否命题：若﹁p则﹁q

逆否命题：若﹁q则﹁

【理论迁移】

例1. 下列命题：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号) 【跟踪练习跟踪练习1.1

】在下列横线上，填写“互逆”“互否”“互为逆否”

(1)命题:“若q则┐p”与命题“若┐q则p”______

(2)命题:“若┐p则q”与命题“若q则┐p”______

(3)命题:“若┐q则p”与命题“若┐p则q”______

【能力提升】

若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（A.互为逆命题 B.互为否命题

）

解：设命题p为“若m，则n”，

则其否命题q是“若￢m，则￢n”；

则其逆否命题r是“若￢n，则￢m”；

故q与r的的关系是互逆命题。

故选A. 【新知探究二】

思考：四种命题的真假性之间是否有什么规律呢？

2以“若x－3x＋2＝0,则x＝2”为原命题,写出其逆命题,否命题与逆否命题,并判断真假

2

原命题：若x－3x＋2＝0，则x＝2；（ ）

逆命题：

x＝2，则x2－3x＋2＝0；若（ ）

否命题：

x2－3x＋2≠0，则x≠2；若（ ）

逆否命题：

若x≠2，则x－3x＋2≠0.（ ）

【形成结论】

四种命题的真假性之间的关系

两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题,

它们的真假性没有关系。

一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：

2（（（原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

【例题讲解】

假

假

假

例2.判断下列说法是否正确。

1）一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真。（

）

2

）一个命题的否命题为真，则原命题一定为假。( )

）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。( ) 3

）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。( ) 4【跟踪练习2跟踪练习2.

】

如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（ ）

A. 一定是假命题 B.不一定是假命题

C. 一定是真命题 D.有可能是真命题

例3、下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题. ②“正三角形都相似”的逆命题. ③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. ④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①④

【跟踪练习3跟踪练习3.

】

22判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a

＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

法一解：先判断原命题的真假：

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77解得a≥.因为a≥，

44所以a≥1，所以原命题为真．

又因为原命题与其逆否命题等价，

所以逆否命题为真．

法二：

解:原命题的逆否命题是：

2已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋2a＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：

22抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋a＋2的图象开口向上，

22判别式Δ＝(2a＋1)－4(a＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0. Δ<0

22所以关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

22例4. 求证：若

x+y =0，则x =y =0.

证明：

逆否命题：若x，y不同时为0，

则x2+y2 ≠0 若x，y不同时为0，则x，y中至少有一个不为0，

22

也就是说x + y

≠0.

不妨设x ≠0，

则x 2＞0，

所以x 2+ y 2 ＞0

【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直

接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真，命题，来间接证明原命题为真命题.

跟踪练习4.

想一想：

这节课你收获了什么？

结合教学目标：

1、这节课我们收获了哪些知识？

2、这节课我们用到了哪些数学方法？