1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）第一课时导学案

“三优课堂”教学_________学科课堂导学案

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1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

学

习

目

标

1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．

2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．

3．培养学生的空间想象能力和思维能力.

新

知

初

探

1．多面体与旋转体的表面积公式

图形

表面积公式

多面体的表面积就是 的面积的和，也就是 多面体

旋

转

体

圆

柱

底面积：S底＝

侧面积：S侧＝ 表面积：S＝ 的面积．

旋

转

体

圆

锥

底面积：S底＝ 侧面积：S侧＝

表面积：S＝ 上底面面积：S上底＝ 旋

转

体

圆

台

2.柱体、锥体、台体的体积公式

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！

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下底面面积：S下底＝

侧面积：S侧＝

表面积：S＝

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝ . 1(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 3(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ . 思

考

感

悟

1．几何体的侧面积与表面积有何区别？

2．一个几何体由于展开方法的不同，其表面积就不同，对吗？

3．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？

知

识

·

方

法

探

究

类型一 空间几何体的表面积

[例1]

已知正三棱锥V—ABC的正视图，俯视图如图3所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．

图3 [解]

图4 由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图4，且

VA＝VB＝VC＝4，

教师寄语：同校同读，岂愿屈居人后；同窗同学，焉能甘拜下风

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AB＝BC＝AC＝23，

取BC的中点D，连接VD，则

VD＝VB2－BD2

＝42－32＝13，

11∴S△VBC＝×VD×BC＝×13×23＝39，

2213S△ABC＝×(23)2×＝33，

22∴三棱锥V－ABC的表面积为

3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．

[点评]

求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．

变式训练1

一个几何体的三视图如图5所示，则这个几何体的表面积为(

)

类型二 空间几何体的体积

[例2]

如图7所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！

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图7 [解]

设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，

11则S△A′DD′＝A′D′×DD′＝bc，

2211∴VC－A′DD′＝×S△A′DD′×CD＝abc. 36∴剩余部分的体积是

15V长方体－VC－A′DD′＝abc－abc＝abc，

66∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. [点评]

求几何体的体积时，对不规则的几何体，通常利用割补法转化为规则的几何体，即简单几何体来解决．

变式训练2

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图8所示，则该几何体的体积是(

) 20A．8

B.

31714C. D.

33

\

教师寄语：同校同读，岂愿屈居人后；同窗同学，焉能甘拜下风

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类型三 组合体的表面积与体积

[例3]

如图10，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

图10 在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

[解]

如图10，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

BC－AD∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝3a. cos60°∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a. 1∴DO＝DD′＝a. 2由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．

由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，

圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，

圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，

∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，

∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．

V柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3. 113V锥＝S′h＝·π·a2·3a＝πa3. 333∴V＝V柱－V锥＝43πa3－331133πa＝πa. 33变式训练3

若某几何体的三视图(单位：cm)如图11所示，则此几何体的体积是(

) 教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！

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图11 352320A.cm3 B.cm3

33224160C.cm3 D.cm3

33

自

我

纠

错

易错点：由三视图还原原图考虑不周出错

[错题展示]

图12 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图12所示，求其侧面积．

[错解]

由图知三棱柱是一个正三棱柱，底面边长和高均为1，所以侧面积为S＝3×1＝3. [错因分析]

误将底面三角形的边长看做1，其实底面边长为2.

[正解]

由图知三棱柱为正三棱柱，底面边长为2，高为1，所以侧面积为6×1＝6.

教师寄语：同校同读，岂愿屈居人后；同窗同学，焉能甘拜下风

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课

后

反

思

课

后

作

业

(另附活页作业)

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