小结与思考国家获奖教案

《与圆有关的位置关系（2）》复习课

——无锡市江南中学

张萍

（修改部分蓝色标注）

【三维目标】

1、

知识与技能：

（1）复习巩固点与圆、直线与圆的位置关系；

（2）掌握圆的切线的性质与判定方法，并能应用其解决问题；

2、过程与方法：

（1）通过典型例题解决过程中对条件的逐一解读，感悟转化和化归的数学思想；

（2）通过两道动态问题的连续解决，提高画图能力，分析问题、解决问题的综合能力，体味类比的数学思想方法；

3、情感态度价值观：

树立学数学、用数学的思想意识. 【教学重点】

切线的性质和判定. 【教学难点】

综合问题的分析解决. 【教学方法】

启发引导式教学

【教学准备】

PPT、直尺、圆规、几何画板、学案. 【教学过程】

教学内容学生活动（一）

、上节回顾

提问：（1）点与圆的三种位置关系分别

是什么？怎么判断？

（2）直线与圆又有哪三种不同的位置齐声回答：

关系？如何判定（提示两种方（1）点在圆内、点式）？

在圆上、点在圆外；

提醒：注意表述准确

（3）相切具体怎么判定？（图形展示）

通过距离来判断.

（2）相交、相切、

相离；

通过距离或者公共

点个数.

设计意图

（1）复习上节课内容，强化记忆；

（2）引出本节课复习的主题：相切.

（二）

、本节复习

（本部分内容放慢节奏）

由上节复习内容自然过渡到本节课，从判定中得出

（1）切线

1、定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

2、数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线.

提问：据此，我们可以判定一条直线是否为圆的切线，你所熟悉的切线的判定方法有哪些？

区别在哪？

（2）切线的三种判定方法

1、定义：

与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

2、

数量关系：

圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；

3、

判定定理：

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

对应，则有三条性质为

（3）切线的三条性质

1、切线与圆只有一个公共点；

2、圆心到切线的距离等于圆的半径；

3、性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径.

强调：（性质定理的使用）

见切线，连半径，得垂直.

辅助线添置的方法归纳: 1、

判定：无公共点，作垂直，证半径；

有公共点，连半径，证垂直. 尝试从两种判定中切线的不同描述，归纳切线的不同描有利于对切线的述方式，加深理解. 性质和判定的更

齐声回答：

作垂直，证半径；

连半径，证垂直. 有无公共点.

齐说判定定理；

深掌握.

必要的区分辨析.

将学生熟记于心的方法提炼出来，将不同的辅助线添落回基础，与理论置方式对应理论依相结合，再次加深据2和3进行回忆巩理解，保证掌握. 固.

尝试根据三种不同切线的三种判定的判定方法转换归与三条性质相对纳说出切线自身具应，方便理解，利有的三条性质.

用.

于掌握.

提炼切线性质定法，揭示一般规律.

掌握性质定理的使理的具体使用方

2、性质：见切线，连半径，得垂直.

归纳总结

通过小结，揭示规律方法，利于学生实际操作. （三）、例题赏析

例一、已知在△ABC中，AB=AC，⊙O请一位同学读题；

添

与△ABC的边AB相切于点D，O是BC其余同学得信息，的中点，请你证明AC与⊙O相切. 加辅助线：先连半

注意：

（1）符号语言的正确书写；

（2）掌握不同方法（等腰三角形“三线合一”）；

（3）见切线，连半径，得垂直；

无公共点，作垂直，证半径.

提问：你想到什么？

例二、已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC，证明DE是⊙O的切线. 径，再过点O作AC

的垂线；

切线的性质应用再请一位同学由大和作垂直、证半径家得到的解题思路的判定方法运用. 说出完整的证明过

程.

请一位学生读题；

多让学生思考

连半径、证垂直的全班一起判断有无判定方法运用. 公共点，确定辅助线

添置方式，添加辅助

线，分析问题；

写证明过程；

两道例题分别考判定方法，加深并学生课堂作业本书察了不同的切线投影学生结果，一起检验学生的掌握来完善过程，解决问情况，同时通过学题.

生口述、投影等方式了解学生解题的规范性操作等方面.

注意：有公共点，连半径，证垂直. 借助学案上的图形进行有效操作

（四）、直面中考

（2016.无锡）如图，AB是⊙O的直径，给予班级中下游学

照顾到不同水平AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠生展现机会

C=70°，则∠AOD的度数为（

）

A.70°

B. 35

C. 20°

D.40°

小试牛刀：

件，口答

的学生

中考题作为课堂齐声读题，转化条选择历年的无锡

一起读条件，延伸结论，依次判断，确定正误. 请班级后进生回答问题练习，有针对性，引起学生重视.

让班级后进生多说多答多思考多融入课堂

带领学生读题挖掘信息，有助于解决问题，提高学生综合能力. 以小组讨论的形式鼓励学生思考探索，必要时再由老师启发引导，重视学生的主体地位.

（2014.无锡）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（

）

A.3

B.2

C.1

D.0

（2016.无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了

s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.

启发：

（1）AB与CD有着什么样的位置关系？

（2）问题描述状态下的CF等于多少？

（3）如若不考虑平行，可否有其他解

生边读题边转化条件，师辅助进行图上标记；

前后左右四人为一小组交流讨论；

3min后请小组代表尝试说说小组成果即解题思路.

决方法

（2012.无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°点P从A点出发，以

3

cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts． （1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；

（第一问可不显示）

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

启发：

（1）⊙P与直线BC从开始到运动结束经历了怎样的位置变化？

（2）关注问题：边BC，那我们则需要讨论线段的两个端点相对于圆的位置；

（3）尝试说出整个运动过程；

（多给时间让学生自主生成运动过程）

（4）分析公共点个数情况；

（展示几种临界状态的图形：让学生自己动手去画一画，而不是老师直接给出，可借助几何画板让学生捕捉状态或进行后续的验证）

（5）进行临界状态下的t值计算（计算不是本题的重点，无需花太多时间，重点在前面的3、4）；

（6）总结回答问题.

（2016.常德）（本题可直接删除）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

证明

步步思考探索.

位置关系:

在前面一题关键延伸，让学生灵活运用，同时更复杂的动态过程向学生发出挑战，帮助顺利完成第一问的

在老师的引导下，一的“平行”上进行相离；相切；相交（B、学生提高空间想C都在圆外——B在象、问题分析与解圆上，C在圆外——决等综合能力. B在圆内，C在圆上

——B、C都在圆

内）；运动结束——

C、P重合（B在圆

上）

对应公共点个数: 1

课后思考

1

2

2

1

1

0

（2）若BC=

3

，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

（五）、收获启发

（六）、作业布置

完成时代相应章节.

【教学反思】

通过这节课的复习你收获了什么？

学生畅所欲言

学生可以在回顾和思考中加深理解，对本课有一个完整而深刻的印象.

（1）根据班级情况，知识点梳理阶段速度放慢；

（2）例题挖掘要有深度，注意解题方式多元化；

（3）运动型问题要花时间，让学生去画，去想象，去思考，借助几何画板等工具进一步辅助，争取突破难点，提升学生画图、解决问题等各种能力；

（4）复习课要上升层次，关注思想层面和核心素养的培养；

（5）突出学生的主体地位，考虑到学生的差异性，给予他们足够的思考时间。