9.5 三角形的中位线课件配套优秀

《9.5三角形中位线》案例设计

一、内容和内容解析

1.内容 三角形中位线的概念、性质。 2.内容解析

《9.5三角形的中位线》是苏科版数学八下第九章第五节的教学内容，是学生继平行线、全等三角形、平行四边形等几何知识之后学习的内容，同时为之后的中点四边形、相似三角形的学习奠定基础，其性质定理的探索和应用过程又需要运用倍长中线、旋转和平行等作图方法和转化思想，在今后的研究学习中都起着画龙点睛的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索并证明三角形中位线的性质定理。

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）探索并掌握三角形中位线的概念、性质；

（2）会证明三角形中位线的性质定理；

（3）会利用三角形中位线的性质定理解决有关问题；

（4）经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法。

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能够通过回顾原有知识经验，了解三角形中位线的概念并辨析，掌握“三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”这一性质，能运用该性质进行计算和说理，解决实际问题。

达成目标（2）的标志是：通过观察、操作、验证等一系列数学活动，学生学会抓住题眼，适时修正并正确做出辅助线，探索并证明出三角形中位线的性质定理，发展空间观念及推理能力；

达成目标（3）的标志是：能利用三角形中位线与第三边的数量与位置的关系解决求具体线段、周长、面积以及证明相关问题，继而解决生活中相关实际问题，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，提高学生应用数学的意识。

达成目标（4）的标志是：经历探索三角形中位线性质定理，引导学生在已有知识经验和待解决问题之间建立联系，循序渐进的做出正确辅助线，将三角形转化为四边形来解决问题，体会转化等数学思想方法。

三、教学问题诊断分析

初中几何内容相对于初中代数内容和小学几何内容来说，更为抽象，对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等能力有了更高的要求；而初中生的思维能力正在由直观慢慢向抽象过渡，但抽象层次尚且较低，故让一部分学生觉得初中几何内容很难，无处下手，不能很好的掌握，继而失去学习信心。三角形中位线性

质的应用对于学生来说不算难，而过程比结果更重要，所以如何引导学生在学习的过程中自然探索出该性质，自然生成知识经验、提高思维能力、提升核心素养是一线教师需要思考的问题。

故本节课的教学难点是：证明三角形中位线性质定理的思路分析。

四、教学支持条件分析

充分利用等多媒体辅助教学，激发学生学习热情，用几何画板演示三角形中位线性质探索的辅助线作法，更好的呈现三角形到平行四边形的转化过程，帮助提升数学思维、提高核心素养。

五、教学过程设计

1.温故知新

复习 三角形中有哪些重要的线段？还有哪些特殊的线段？

师生活动：请生回忆、交流，师投影三角形的三线。请生上黑板画一些自己觉得特殊的线段，并说出特殊在哪里。

2.学习新知

老师在黑板上保留一条中位线，引出三角形中位线的定义。

设计意图：让学生从自己已有的知识经验入手，自然的引出新课内容，遵循了学生的认知特点，培养学生发现和提出问题的意识。

问题1 我们刚学习了三角形中位线的定义,还可以从什么方面继续研究它?

师生活动：让学生回忆并类比研究平行四边形的途径、方向，确定后续学习内容。

设计意图：引导学生回忆研究几何对象的方向，学会提出问题，提高学生的研究学习策略，加强学习主体性。

问题2-1 猜想中位线的性质，并且尝试用文字语言来描述。

追问1 哪两条线段平行？

追问2 所对的线段可以怎么称呼它？ 追问3 为什么叫第三边？

师生活动：师给出一个没有字母的简图，画出它的一条中位线，请学生猜想中位线的性质，并且尝试用文字语言来描述，请学生来回答。师总结：因为这条中位线的两个端点，在三角形的两边上，所以它所对的边应该叫做这条中位线所对的第三边。

设计意图：给出一个没有字母的空图，促使学生出现认知与表达之间的不平衡状态，产生寻求平衡的需求，同时对于性质中的“第三边”进行加深理解，为后续学生能够正确应用性质奠定基础。

问题2-2 根据给出的已知条件画出合适的图像，并证明该命题。

追问1 思考一下，需要证明的两条结论中，哪条结论是我们比较熟悉的？哪条结论是我们不太熟悉的呢？

追问2 这个二分之一可以如何解决呢？

师生活动：下面我们将我们的猜想写在学案上，并且根据老师已给出的已知条件画出合适的图像，可以用工具检验一下你的猜想，然后我们开始证明。老师把原来的空图补上相应的字母，并且用文字板书出猜想得到的性质。让学生独立思考五分钟尝试独立学习，巡视学生构辅助线的情况。

设计意图：这里限定了作图的条件，考察学生能够根据题意进行画图的能力，根据文字语言来写出几何语言，进行三种语言之间的相互转化。同时让学生经历观察、猜想、操作、验证的过程，感受数学研究学习的合理性。另，本部分活动中设置了几次让学生独立思考的环节，分别安排在教师的几次提示之后，根据学生独立学习的整体情况来判断老师提示的时机和深入程度，充分发挥学生的主体性，减少学生对教师的依赖，把课堂真正还给学生。

问题2-3 老师取出一位同学的构图，请他说说A使用中点作法和意图。

追问1 你是怎样作辅助线的？意图是什么？

DE追问2 那你这样作的辅助线是否可以得到证明呢？那你觉得困难出在哪里？知道为什么不容易证明出你想要的结论吗？

BFC追问3 作了BC的中点相当于人为地将线段BCA怎样了？

追问4 我们是否可以换一个方向思考这个结DEFI论呢？这个结论可以等价于什么呢？

师生活动：老师追问，学生回答，分析为何做BC另一条中位线不能解决本题的原因：题目中给出的大多是关于中点的条件，再作BC的中点，相当于还是增加了一条中位线，条件品种单一，且试图用中位线的性质去证明中位线的性质自然是很困难的。同时，引导学生发现这位同学虽没有解决此题，但想到把DE和BC之间的关系转化为DE和BF之间的关系，这一点是非常关键的。追问3之后让学生再独立思考三分钟，巡视学生完成情况，根据完成情况再进行进一步追问启发。

设计意图：听取学生的做法及在为证明过程下产生的困惑，分解它的辅助线做法和意图，激发需求，明确证明的具体目标，同时挖掘出错误解法当中的价值，即由找中点想到可以延长线段，由截长想到补短。本节课的难点就是如何启发学生做出辅助线，探究出性质证明方法，引导学生发现线段的倍长关系是此次证明中相对较陌生、又较困难的一个关键点，是此结论当中的一个题眼。故需要遵循学生的心理特点和认知规律，循序渐进引导学生发现题眼，让知识顺其自然的生成。

问题3 请大家回忆一下解题的步骤是怎样的？

追问1 本题条件是什么？结论是什么？

追问2 中点能得到什么？

追问3 要怎么证明这个结论？需要什么条件？

追问4 若没有条件直接证明，可以找哪条线段代换？

如何代换线段？

追问5 三角形全等条件若不够可以如何补充？ 师生活动：老师引导学生回忆解题步骤，即审题、分解并重组条件和问题。再利用已有知识经验、运用解题策略在条件和问题之间建立起相关联系。老师提问，学生回答，同时板书思维导图如下：

条件

结论

DE∥BC D、E是AB、AC的中点

DE=

BC

补短

DE=EF DE=EF DE=EF 2DE=BC

转化

口BCD?

△ADE≌△CFE

代换

BD∥CF,BD=CF AD∥CF,AD=CF

设计意图：在部分学生已经想到证明过程时，仍有部分学生不得其解，这时，教会学生解几何题的步骤与策略显得更为重要，从逐步分析、重组条件和结论入手，引导学生学会并总结如何解题，提高学生的解题能力、归纳总结能力，锻炼数学思维。

问题4 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形，称为中点三角形，它与原三角形有什么关系？若BC=6,问DE多长？这里有没有特殊的四边形？

师生活动：学生独立思考并交流回答，老师做补充总结。

设计意图：及时巩固并反馈新知掌握情况，用半开放的问题设计来拓展知识面、加强三角形与四边形的转化意识，充分运用之前未得证成功的辅助线作法，总结出与三角形中位线相关的基本图形。

3.小结思考

（1）三角形中位线的定义与性质是什么？

（2）回忆你是如何证明三角形中位线性质的？从中有何收获呢？

学生讨论交流，老师辅助总结。

设计意图：两个问题分别引导学生归纳总结本节课中所学到的基本知识和基本思想方法，尤其是转化思想和截长补短的解题方法，培养学生学习反思的意识，提高学生的数学素养。

4.布置作业：

教科书P87第1，2题。

六、目标检测设计：

1. 如图,点D、E、F分别为△ABC三边的中点,若∠ADF=60°，则∠B= .若△ABC的周长为18,则△DEF的周长为 . 设计意图：考察学生分别从数量关系和位置关系两方面简单应用三角形中位线性质的掌握情况。

2. 如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．

(1)求证：四边形BDEF是菱形；

(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长．

设计意图：考察学生三角形中位线定义的掌握情况，以及灵活应用中位线性质解决问题的能力。

七、反思：

（一）、剖析错解，转化攫取思路

本节课教学的难点就是如何做辅助线探究出三角形中位线性质证明方法，虽然在课上进行过“将三角形分成两部分拼成一个平行四边形”这样的操作过程，并且进行了多次引导启发，学生还是很难想到如何添加辅助线从而证明，即便想出如何作辅助线又会陷入用旋转证明却不能完整写出证明过程的困境中。同时，笔者发现不少学生在作辅助线时都出现了相同的错误，即作BC边的中点，并连接DF、EF。于是笔者在课堂上及时听取并分享学生的做法，呈现并放大学生在证明过程中出现的困惑，接着分解剖析他的辅助线作法和意图，激发学生在证明思路上的需求，明确证明的具体目标，最后挖掘出错误解法当中非常有用的价值，例如关于辅助线的作法和转化等数学思想，适当引导学生进行变换，转为正确的思路和解法，即让学生想到“截长”不行就考虑“补短”，再由“找中点”是为了“截长”联想到“延长”可以起到“补短”的作用；同时让更多的学生获得将三角形问题转化为平行四边形的思路。

(二)、抓住题眼，一脉贯通整题

初中几何教学中常常遇见这样的问题：老师尽心尽力教授，学生却一听就懂，听过就忘，一做就错。这是因为初中几何定理繁多，老师又没有重视对学生审题和分解重组能力的培养，导致不会解题或者用更繁琐复杂的方法，人为的延长了自己解题的时间，增加了解题的难度。所以教师要通过训练，培养学生抓住“题眼”的能力，找到解决问题的突破口。正如本环节中老师引导学生去发现结论中哪些是学生熟悉、好解决的部分，哪些是学生觉得不熟悉、不好解决的部分，或者所有结论都指向的某个结论，这些往往就是本题的题眼，学生发现证明两条线段平行且相等是熟悉又好解决的，而DE=

BC是不熟悉的，那么此题的题眼就是这个

，重点从这个

开始突破，找到突破口以后，就有了思考的方向，集中火力去探索所需的条件或者画出相关的辅助线来解决问题。

(三)、分解重组，导图梳理思维

波利亚在《怎样解题》中说，我们在寻找解题方法时，可以试试在题目上做些变化，比如类比、特殊化、普遍化、分解和重组，其中在几何证明过程当中，分解与重组能在很大程度上帮助学生分析并解决问题。故本环节教学中，老师引导学生分解条件“D、E是AB、AC的中点”则能得到“AD=DE，AE=EC”，接着分解结论“DE∥BC， DE=

BC”则还需要找到另一条线段让它与BC平行且相等，同时还需要证明DE要等于这条线段的一半。引导学生画出辅助线，继而将新条件

“AE=EC”和

“DE=EF”重组，得到一对三角形全等，最终解决问题。那么这些繁琐的想法不能只停留在抽象的思维中，需要显性的暴露在学生面前，于是教会学生利用思维导图显得尤为重要。思维导图又叫心智导图，能将思维形象化，是一种非常实用的表达发散性思维的图形工具，思维导图在初中几何教学中的地位举足轻重，可以说得思维导图者得几何天下，指导学生学会利用思维导图解决几何问题的策略与技巧，并有意识的进行运用和训练，较大程度的提高解题能力，提升数学思维。

(四)、注重生成，提高核心素养

属性是某一对象所固有，是不以人的意志为转移的，你们这就只能在人们认识世界中去发现。而新课标修订组提出数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些核心素养的培养不是凭空进行的，需要在数学知识生成的过程中进行，在日常教学中如何结合具体教学内容发展并提高数学核心素养需要我们去重视的问题。本节课的设计中舍弃了一开始让学生通过动手操作将一个三角形拼成一个平行四边形的活动，虽然这个活动对学生探索性质时添加辅助线有一定的帮助，但稍有强加之意，不是学生自己从所给和所需中联想出的，笔者更赞成让学生经历观察、操作、猜想、验证的过程，产生寻求未知问题与已有知识经验之间平衡的愿望，在探索过程中主动发现和提出问题、自然生成知识和思想方法，解决问题、提高逻辑思维等素养。