2.1.4 平面与平面之间的位置关系主要内容及教案内容

第2课时

直线与平面、平面与平面平行的性质

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P58～P61，回答下列问题．

(1)如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的？若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？

提示：平行或异面．在平面α内与直线a平行的直线有无数条，这些直线互相平行．

(2)如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

提示：有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行．如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．

2．归纳总结，核心必记

(1)直线与平面平行的性质定理

文字语言

符号语言

图形语言

(2)平面与平面平行的性质定理

文字语言

符号语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

[问题思考] (1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？

提示：错误．若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行．

(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？

提示：不对．若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α，当a⊂α时，α内有直线与直线a平行．

(3)两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？

提示：不一定．它们可能异面．

(4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？

提示：一定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

(1)直线和平面平行的性质定理是什么？怎样应用？

；

(2)平面和平面平行的性质定理是什么？怎样应用？

将铅笔放到与桌面平行的位置，用矩形硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面，如图所示，思考下列问题．

[思考1]

铅笔和硬纸片与桌面的交线是什么位置关系？

提示：平行．

[思考2]

铅笔所在直线与桌面内的直线都平行吗？

提示：不一定．

[思考3]

怎样认识直线与平面平行的性质定理？

名师指津：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：

①直线a与平面α平行，即a∥α；

②平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；

③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．

(2)定理的作用：

①线面平行⇒线线平行；

②画一条直线与已知直线平行．

(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．

(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．

讲一讲

1．如图所示，已知三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为▱EFGH，求证：CD∥平面EFGH. [尝试解答]

∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH. 又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，

∴EF∥平面BCD. 而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，

∴EF∥CD. 又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH.

利用线面平行性质定理解题的步骤

练一练

1．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

解：已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.

证明：如图，过a作平面γ交α于b. ∵a∥α，

∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c. ∵a∥β，

∴a∥c，∴b∥c. 又b⊄β且c⊂β，

∴b∥β. 又平面α过b交β于l，

∴b∥l. ∵a∥b，∴a∥l.

观察下图，其中平面α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.

[思考1]

怎样理解平面与平面平行的性质定理？

名师指津：(1)面面平行的性质定理的条件有三个：

①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可．

(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．

(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．

[思考2]

两个平面平行有哪些常见结论？

名师指津：两个平面平行的一些常见结论：

(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．

(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．

(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．

讲一讲

2．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．

[尝试解答]

因为AC∩BD＝P，

所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，

所以AB∥CD.所以PAAC＝PBBD，即69＝8－BDBD. 所以BD＝245.

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

练一练

2．如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD. 证明：根据棱台的定义可知，BB1与DD1相交，

所以BD与B1D1共面．

又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

所以B1D1∥BD.

讲一讲

3．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1. [思路点拨]

欲证直线EE1∥平面FCC1.可将问题转化为证明含有直线EE1的平面ADD1A1与平面FCC1平行，再根据面面平行的性质证明问题．

[尝试解答]

因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，

所以CD＝AF. 因为AB∥CD，

所以CD∥AF，

所以AFCD为平行四边形，

所以FC∥AD. 又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

所以FC∥平面ADD1A1. 因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1.又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

1．空间中各种平行关系相互转化的示意图

2．证明直线与直线平行的方法

(1)平面几何中证明直线平行的方法，如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；

(2)公理4；

(3)线面平行的性质定理；

(4)面面平行的性质定理．

3．证明直线与平面平行的方法

(1)线面平行的判定定理；

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

练一练

3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B. 证明：作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB. ∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝NB，

∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，

∴NP∥CD∥AB. ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.

———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————

1．本节课的重点是理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理，能利用线面、面面平行的性质定理解决空间平行问题．难点是能综合应用线面、面面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行与面面平行的相互转化．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)线面平行、面面平行的性质定理解题的步骤，见讲1，讲2. (2)空间中证明线线、线面、面面平行的方法，见讲3. 3．本节课的易错点是混淆综合利用线线、线面、面面平行的判定与性质定理解题，如讲3.

课下能力提升(十一) [学业水平达标练] 题组1

直线与平面平行的性质定理

1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(

) A．平行

B．平行或异面

C．平行或相交

D．异面或相交

解析：选B

由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．

2．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．以上均有可能

解析：选A

由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，

所以n∥a.

3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．平行或异面

解析：选A

由长方体性质知：EF∥平面ABCD，

∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，

∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.

4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF. 证明：因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD. 同理可证AB∥EF，

所以CD∥EF. 题组2

平面与平面平行的性质定理

5．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定

解析：选A

由面面平行的性质定理可知选项A正确．

6．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．平行或异面

解析：选A

因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.

7．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，

则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1以ABCD，从而四边形ABCD为平行四边形．

C1D1，所答案：平行四边形

8．(2016·南阳高一检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．

证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，

所以四边形ANC1M为平行四边形，

所以AN∥C1M且AN＝C1M，

又C1M＝12A1C1，A1C1＝AC，

所以AN＝12AC，所以N为AC的中点．

题组3

线线、线面、面面平行的综合

9．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：l∥BC；

(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．

解：(1)证明：因为BC∥AD，

BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l. (2)平行．证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形．

所以MN∥AE，

又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，

所以MN∥平面APD.

10．如图所示，ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．

解：当点E为棱AB的中点时，

DE∥平面AB1C1.证明如下：

如图，取BB1的中点F，连接EF、FD、DE，

∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，

∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，

∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE⊂平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1.