3.3.4 两条平行直线间的距离教学实录与评析

点到直线的距离、两条平行直线间的距离

教材分析

⒈教材的地位和作用

“点到直线的距离”是高中课本第二册必修2，3.3.4，“直线”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。

在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。

教学目的

1、知识目标：掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；

2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

教学重点：公式的推导及其结论以及简单的应用。

教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法。

教学方法：启导法、讨论法。

教学过程：

一、创设情景

给出定义

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

[板书]点到直线的距离

二、提出问题

初探思路

“求点P（-1，5）到直线l：2x+y+10=0的距离。”

提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P的l的垂线l的方程；再联立l、l'求垂足Q，最后用两点间距离公式求│PQ│。[使学生巩固已学过的知识和方法，'同时也为问题二的解决作铺垫。] 三、自主探索

推导公式

已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．

怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．

第1页

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板书：

l l 当A0时，l:ByC0,PQy0yQy0By0CC。

BBAx0CC。

AA当B0时，l:AxC0,PQx0xQx0当AB0时，如何求PQ？

学生思考回答下列想法：

思路一：[学生类比问题一，容易有思路]过P作PQl于Q点，根据点斜式写出直线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得Q点坐标，然后利用两点距离公式求得．

教师继续提出问题：

(1)求线段长度可以构造图形吗？

(2)什么图形？如何构造？

(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中。 [老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直角边的直角三角形。] ．．．．．．．．．思路二：过P点做x,y轴的平行线与直线l的交点R、S。在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值。

思路三：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长。

学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程。

B（思路一）解：直线PQ：yy0xx0,xx0，即BxAyBx0Ay0。

AP (x0 ,y0) 第2页

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BxAyBx0Ay0B2x0ABy0AC由，xQ。

22ABAxByC0

B2x0ABy0ACA2x0B2x0AAx0By0CxQx0 A2B2A2B2

BAxByC yQy0xx0B0202

AAB

dxQx0yQy0

22

1A2B2A2B2Ax0By0CAx0By0CA2B2A），也就知道tgθ，

也B（思路二）解：在Rt△PSQ中，已知|PS|、θ，要求PQ，只需求cosθ。

而已知l的方程，就知道tgα（当B≠0时，tgα=－就知道secθ，就可以求出cosθ；

∵ θ＜90°，

∴ cosθ=11tgθ2=11AB22=BAB22。

在Rt△PSQ中，已知│PS│，cos∠QPS即cosθ。

则│PQ│=│PS│cosθ

=Ax0By0CAB22Ax0By0CB×BAB22

=。

（思路三）解：设Px0,y0，QxQ,yQ，RxR,y0，Sx0,yS。

AxRBy0C0，xRBy0CAxC；Ax0BySC0，yS0。

AB RPx0xRAx0By0C。

AAx0By0C。

BPRPSRS PSy0yS由PQRSPRPS，

PQ。

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而RSRPPS22Ax0By0CA2B2。

A2B2

22AB

Ax0By0CABPQAx0By0CAB22。

教师又提出：点到直线的距离是点与直线上的点距离的最小值吗？那么能不能用不等式的知识解决呢？

思路四：使用柯西不等式

（师生共同）解：（A2B2）[（x-x0)2(yy0)2][A(xx0)B(yy0)]2

=[(AxBy)(Ax0By0)]2=[(AxByC)(Ax0By0C)]2

=(Ax0By0C)2

。 （AxByC0

）

两边开方后可得：(xx0)2(yy0)2问：等号什么时候成立呢？

答：当|Ax0By0C|AB22。

xx0yy0yy0B即时等号成立。

ABxx0A教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？

思路五：已知直线l的法向量n，则PQn，P (x0 ,y0) →n

PQn，如何选取法向量？直线的方向向AB量1,，则法向量为1,，或A,B，或其它．由BAQ 师生一起分析得出取n＝A,B。

教师板演：

PQxQx0,yQy0，nA,B。

xQx0AyQy0BxQx0AyQy0B，由于点Q在直线上,所以满足直线方程第4页

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A(x0A)B(y0B)C0,解得Ax0By0CAB2222Ax0By0C。

A2B2Ax0By0CAB22PQnAB。

教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法。

四、例题应用，解决问题。

例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解：直线方程是3x-2=0，

d=31232025。

3例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

1y解：设AB边上的高为h，则SABC|AB|h。

2AB31132222，AB边上的高h就是点C到hAy3x1AB的距离。AB边所在直线方程为，即1331x+y-4=0。

BxCO点C到x+y-4=0的距离为h=1041125，

2

因此，SABC15225。

22师生共同总结出公式的结构特征、公式的适用范围、使用公式时应注意的问题等等，即如下几点：

1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是A2B2。

2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，计算时常用图形直接求解也可套用公式。

3．使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。

4．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6个量。

五、两条平行直线间的距离。

1.两条平行直线间的距离的定义。

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。

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两条平行直线间的距离处处相等。

2.探究两条平行直线间的距离的求法

设直线l1∥l2，如何l1与l2之间的距离？

（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？

（2）如何取点，使计算简单？

例7

已知直线,l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－l＝0，ll与l2是否平行？若平行，求ll与l2间的距离。

解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：

22l1的斜率k1＝，l2的斜率k2＝，

77因为k1＝k2，所以l1∥l2。

先求l1与轴的交点A的坐标，容易知道点A的坐标为（4,0）

点A到直线l2的距离为：d＝所以，ll与l2间的距离为64210162212＝233532353。

1592353。

159

由上面的例题可知，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，取点时可考虑取x轴上的点或y轴上的点，运算可以简便点。

练习：

求两条平行线间的距离：

（1）2x+3y-8=0 ，2x+3y+18=0；

(2)3x+4y=10, 3x+4y=0。

六、学生小结

教师点评

①

知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．

②

数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．

六、作业

P110，9，10.

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