习题4.3教学设计(第二课时)

《立体几何》专题复习

空间角的求法

澄海实验高级中学

谢淑刁

教材分析：

教材地位分析

立体几何板块主要有两大类型：（1）判断、推理题；（2）有关几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、面积、体积的计算. 空间角及其求法是立体几何的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是一个难点.

高考地位分析

在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容. 复习目的：

1．熟练掌握空间角的各种求法.

2. 在具体的问题情景中对所求空间角选用恰当的方法实施求解（方法的筛选）.

复习重点、难点：

重点：熟练掌握空间角的各种求法.

难点：在具体的问题情景中对所求空间角选用恰当的方法实施求解（方法的筛选）. 数学思想方法：化归与转化的思想方法

复习过程：

（一）高考考点回顾：

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解

手段上可采用：几何法和向量法

空间角的几何法求解一般步骤是：一作、二证、三计算。

1、

异面直线所成的角：

几何法：异面直线所成的角是指过空间任意点，作两异面直线各自的平行线，两条相交直线所成的锐角（或直角）。

范围

00<θ≤900

向量法：设直线a，b的方向向量为a,b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝为异面直线a，b所成的角)．

2、直线和平面所成的角

当直线和平面平行或在平面内时，直线和平面成0°；

1

|ab|

(其中φ|a||b|

当直线和平面垂直时，直线和平面成90°；

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做斜线和平面所成的角。

因此求直线和平面所成的角：

1.几何法：一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；

2.向量法：利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l与平面α所成的角，为直线l的方向向量v与平面α的法向量n之间的夹角，则有或（图2）

22

图2 特别地

0时，2，l；2时，0，l或l//。

设直线AB与平面所成角为θ，其中n是平面的法向量；

ABnABn则sinconAB,n

范围

0°≤θ≤90°

3、二面角的求法：

通常用它的平面角来度量

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：

①直接利用定义，图4（1）。

②垂线法，图4（2）最常用。

③作棱的垂面，图4（3）。

2

A 



P O 



B A P A 

O O B M N 

4（1）

4（2）

图4 4（3）

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；

2．向量法：①从平面的法向量考虑，设

n1,n2分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量

n1,n2的夹角为，则有或

（图5）

nnωαθlnαθlωβnβ图5 则cosθ=cos或cosθ= —cos

②如果AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为AB,CD。

（二）、例题讲解：

例

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、N分别是A1B1、BC、DC、BB1的中点

（1）求异面直线AE和CN所成的角的余弦值．

D1

（2）求异面直线A1C1和GF所成的角．

（3）求EF与平面BCC1B1所成的角的正弦值．. （4）求二面角E-GF-A的余弦值．

（5）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B

的大小为30°，求出BP的长，请说明理由．

（6）点S在线段A1D1上运动,当AC与平面SCD所成

的角为450时,求二面角A-SB-C的大小.

3

几何法：

（1）解法一：过点B1作B1M∥AE，作B1Q∥CN，则∠MB1Q为异面直线AE和CN所成的角或其补角. 连结MQ，MC,

∵B1M∥AE,AM∥B1E,∴四边形AMB1E为平行四边形

∴B1M=AE，在Rt△A1AE中，

D1

AEAA12A1E222125

同理，Rt△B1C1Q中，B1Q=5

在Rt△BCM中，CM=5,在Rt△CQM中，

MQCM2CQ2(5)2126

在△B1MQ中,由余弦定理得: B1M2B1Q2MQ2(5)2(5)2(6)22cosMB1Q

22B1MB1Q52(5)∴异面直线AE和CN所成的角的余弦值为2

5解法二：过点B1作B1M∥AE，再过点N作NI∥B1M，

显然∠INC为异面直线AE和CN所成的角或其补角.在

△INC中也可有余弦定理解得。

方法提炼1 ：

求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

D1

（2）（学生练习）连结AC,BD.

∵A A1∥C C1且A A1=C C1

∴四边形AA1C1C是平行四边形，∴A1C1∥AC, ∴AC与GF所成的角就是异面直线A1C1和GF所成的角

∵F、G分别是BC、DC的中点

∴FG∥BD,在正方形ABCD中ACBD,

∴FG⊥AC

∴异面直线A1C1和GF所成的角90°

(3) 连结FB1

∵A1B1⊥平面BCC1B1 ∴FB1是EF在平面BCC1B1上的射影，

∴∠EFB1是EF与平面BCC1B1所成的角，

D1

在Rt△BB1F中, B1F =BB12BF222125

4

在Rt△EB1F中,EB1=1 ，EF=EB12B1F212(5)26

在Rt△EB1F中,sin∠EFB1=EB116

EF666

6所以EF与平面BCC1B1所成的角正弦值为方法提炼2：求直线和平面所成角要领

“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。

（4）解法一：（垂线法）取AB的中点H，连结EH,HF ∵E、H分别为A1B1,、AB的中点

∴EH∥AA1，又∵AA1⊥平面ABCD ∴EH⊥平面ABCD ∴GF平面ABCD，∴EH⊥GF 又∵H、F分别为AB、BC的中点 ∴HF∥AC

又（2）可知GF⊥AC

∴HF⊥GF HF∩HF=H ∴GF⊥平面EHF ∴GF⊥EF

∴∠EFH是二面角E-GF-A的平面角。

在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=22+22=22

2

, 在Rt△EFH中,EH=2,HF=EF= EH2+HF2=11AC=?222222+(2)2=6

cos∠EFH=HF=EF23

=363∴二面角E-GF-H的余弦值为3

解法二：（垂面法）

取A1D1的中点K，连结EK，GK设EK∩A1C1=O1，GF∩AC=O EK∥B1D1，GF∥BD，又∵BB1∥DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1

∴EK∥GF

∴面EFG即是平面EFGK ∵GF⊥AC ∵AA1⊥平面ABCD 且GFÌ平面ABCD∴AA1⊥GF 又∵AA1

∩AC=A，

∴GF⊥平面ACC1A1 ∴∠O1OA是二面角E-GF-A的平面角，

在平面ACC1A1内过点O1作O1R⊥AC于点R，

则O1R∥AA1

且O1R∥AA1，

5

在Rt△O1OA中，

11OR=2，RO=AC=?2222∴cos∠O1OA=2,OO1=OR2+RO2=22+(2)2=6

OR=OO123

=363∴二面角E-GF-H的余弦值为3

(5)（定义法）

假设在棱BB1上存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°

连结AP、CP、OP、OB ∵AB=BC,PB=PB, ∠ABP=∠CBP,△ABP≌△CBP ∴AP=CP 则PO⊥AC, 又∵BO⊥AC ∴∠POB为二面角P-AC-B的平面角

在Rt△POB中，

∠POB=30°，BO=2，

BP=OBtan∠POB=2tan30°=6

36时，二面角P-AC-B的大小为30°

3∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为方法提炼3

求二面角的方法比较多，常见的有

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义作图,例第（5）小题的解法

（2）垂线法：是最重要的方法，具体步骤如下：

①弄清该二面角及它的棱．

②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．

③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．

④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．例第（4）的解法一

（3）垂面法

：通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角，例第（4）的解法二

（6）解: 在平面ADS中, 过点A作AT⊥SD于点T.连结TC. DC面ADD1A1,

AT面ADD1A1

DCAT

DCSDD

AT面SD

CTC是AC在平面SCD内的射影

6

ACT为直线AC与平面SCD所成的角

ACT450

AC22

AT2,这就是说T与D重合,即S与D1重合.

二面角ASBC,即二面角AD1BC

AB=BC,

AD1CD1且BAD1BCD1900

ABD1CBD1, 过点A作AWD1B,连结CW,则CWD1B

AWC为二面角AD1BC的平面角.

BD1BD2DD124823

在RtABD1中,AWBD1ABAD1

即AW23222

AW2626,

CW

332888AWCWAC133在AWC中,cosAWC



82AWCW22322AWC1200

二面角ASBC的平面角为1200

解题感悟：第(6)题求二面角的过程与下题同解:

在四棱锥D1ABCD中, DD1平面ABCD,底面

ABCD为正方形,且DD1AD,求二面角ABD1C的大小.

向量法：

解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E（2,1,2），N（2,2,1）A1(2,0,2),C1(0,2,2),G(0,1,0),F(1,2,0)B1(2,2,2)

7

（1）AE(0,1,2),CN(2,0,1),设异面直线AE和CN所成的角为

AECNAECN2122222122

5coscosAE,CN2∴异面直线AE和CN所成的角的余弦值为

5（2）A1C1(2,2,0),GF(1,1,0)

∴A1C1GF21210

∴A1C1GF∴A1C1GF

∴异面直线A1C1和GF成的角为0 (3) EF(1,1,2)，显然平面BCC1B1的一个法向量为DC(0,2,0)

设EF与平面BCC1B1所成的角为EFDCEFDC1 sin1cosEF,DC2(1)212(2)226．. 6所以EF与平面BCC1B1所成的角正弦值为6

6(4)显然平面AGF的一个法向量是DD1(0,0,2)

设平面EGF的一个法向量是n(x,y,z),G(0,1,0) EF(1,1,2)，GF(1,1,0)

EFnxy2z0EFn则令x=1,则y=-1,z=-1 GFnGFnxy0n(1,1,1)

设二面角E-GF-AD的大小为则cosDD1,n

cos1=-cosDD1,n3

8 1 DD1nDD1n212(1)2(1)2233

3

3∴二面角E-GF-H的余弦值为3

（5）设点P(2,2,t)(0﹤t≤2),平面ACP的一个法向量为n1(x1,y1,z1)，

则AP(0,2,t)，AC(2,2,0)

APn1

ACn12n1(1,1,)

t02APn12x12y1

令x1=1,则y1=1, z1

t0ACn12y1tz1易知平面ABC的一个法向量为BB1(0,0,2)，

依题意知，BB1,n130,或者BB1,n1150

4BB1n13t∴cosBB1,n1

24BB1n1222t即4346

(2),解得t22t4t36（0，2]

∵36∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为3时，二面角P-AC-B的大小为30°

(6)解: 建系, 设S(a,0,2),(0a2),则DS(a,0,2),DC(0,2,0), 设平面SDC的一个法向量为n2(x2,y2,z2), DSn2由得: DCn2ax22z20DSn20, .令x22,得:y20,z2a. 2y20DCn20n2(2,0,a),

又AC(2,2,0),

直线AC与平面SCD所成的角为450

|cosn2,AC|sin450

即|n2AC|2

2|n2||AC|

9

|4||4a2(2)222|2

解得:a0

2a0[0,2]

点S与点D1重合.

设平面D1BC的一个法向量为n3(x3,y3,z3), 则BC(2,0,0),DC(0,2,2)

1BCn3由得:

D1Cn32x30BCn30

取n3(0,1,1). 2y2z033D1Cn30设平面AD1B的一个法向量为n4(x4,y4,z4),同理可得: n4(1,0,1)

cosn3,n411

222又00n3,n41800

n3,n4600

二面角ASBC的平面角为1200

课堂小结：

1．空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

手段上可采用：几何法和向量法。

空间角的几何法求解一般步骤是：一作、二证、三计算。

2．两种解法各有特点：几何法对思维层次的要求较高，对空间想象能力、思维能力，论证推理和表达能力的要求更严格；但对一些图形本身已含有所求的角及那些不易建系、不易求设点的坐标的题目采用几何法确实是比较好的选择。

用空间向量法求解空间角，可以降低立体几何的论证、推理难度，使解探究开放式问题路子更阔，也可以帮助我们对一些无法想象到几何结构的题目轻松实施求解，但是向量法对运算能力的要求则更高一些。所以要熟练掌握空间角的各种求法，面对具体题目重在方法的筛选．

布置作业：

1. (2010·天津)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，

CC1上的点，CF

10

＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.

(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

(2)证明：AF⊥平面A1ED；

(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．

2．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

（4）当二面角P—AC—D的大小为

45°时，求直线SD与平面PAC所成角的正弦值．

教学反思：本节课容量大，有一定的思维深度，教学设计很适合一轮后的学生，对空间角的求法既有各种常用方法的复习，又针对各种方法的特征教会学生懂得筛选，教学效果相当好，是二轮复习课的较好示范课件。但是本节课容量太大，所以对有些题目在方法提炼是做得不是很到位，也没办法把各种方法进行很好的拓展是本节课的遗憾！

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