复习参考题第一课时教学设计

立体几何中的体积问题

时间：2019年4月3日

授课班级：313

授课老师：郑俊和

设计理念：

从学生手头的复习资料着手，结合高考考点与学生平时的练习涉及到的考点、方法，精选例题并对例题加以改编，以减轻学生学习负担，提振学生学习信心，提高学生学习效率为出发点，精心设计教学环节、提问环节与师生互动环节，通过思维导图帮助理清知识脉络，提升学生学习能力、创新能力，渗透数学思想方法，培养提高学生的数学核心素养。

内容分析：

从近5年的高考文科数学来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、体积与侧面积的计算等是高考的热点，涉及的模型有三棱锥、四棱锥与三棱柱。第一小问主要是垂直的证明，第二小问主要是体积与侧面积的计算。预测2019年高考立体几何大题仍将以线面垂直、面面垂直、体积的计算为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力。

学科素养：

1、以思维导图的形式对立体几何中的体积问题的方法进行总结回顾，培养学生的逻辑推理能力，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习信心。

2、师生共同探究典型题目的解法，在探究中，激发学生的学习热情，培养学生的空间想象能力与数据分析处理能力。

3、通过对近五年高考考点的分析，帮助学生明确学习方向与重点，在对例题的分析与讲解中巩固学生对体积问题的认识，渗透转化的思想，让学生进一步掌握直接法、等积法、转移法等求体积常用方法，减轻学生学习的负担，培养学生的创新能力与归纳能力。

教学重难点：

重点：直接法、等积法、割补法与转移法在实际题目中的运用。

难点：如何恰当的选择合适的方法准确计算求解体积。

教学方法：启发式、探究式教学

教学过程设计：高考考点分析→求体积方法总结→典例讲解→解题反思→变式训练1→解题方法小结→变式训练2→解题方法师生探究→解题反思→巩固提升→课堂小结→作业布置

教学过程与设计意图：

一、近五年全国高考数学1卷题型与考点分析

年份

2014 2015 设问特点

证明线线垂直；求三棱柱的高。

证明面面垂直；求三棱涉及知识点

线面垂直的判定、性质定理、勾股定理

面面垂直的判定；三棱锥的体几何模型

三棱柱

四棱锥、

数学思想方法

演绎推理

转换思想

演绎推理

锥的高。

2016 2017 2018 积与侧面积。

三棱锥

正三棱锥

四棱锥

三棱锥

方程思想

演绎推理

转换思想

演绎推理

方程思想

演绎推理

转换思想

证明点是某线段的中正投影、等腰三角形的性质、点；求四面体的体积。

线面垂直性质、棱锥的体积

证明面面垂直；求棱锥侧面积；

证明面面垂直；求三棱锥的体积

面面垂直的判定定理；棱锥的体积。

面面垂直的判定；棱锥的体积公式

详细题目请看后面附录

设计意图：通过对高考考察内容、知识点、思想方法的归纳，让学生明确学习方向，提高备考的效率。

二、体积问题方法回顾

三棱锥高易求体积公式直接法三棱锥高难求等积法转移法不规则割补法求高证高V1S底h3立体几何中的体积问题变换顶点或底面求点到面的距离平行转移面面平行中点转移体积和体积差A比例转移线面平行MP

设计意图：以思维导图的形式对体积问题进行回顾总结，帮助学生理清解题思路，提高学生的解题能力。同时通过这样的示范，培养提高学生的逻辑推理能力、归纳能力与创新能力，渗透数学思想方法。

三、典型例题选讲

例、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点。(1)求证：BC1∥面A1CD;(2)若四边形CBB1C1是正方形，且A1D5,

求多面体CA1C1BD的体积.AA1问:A1B C1D四点是否共面？如何证明共面？判断不共面？

D难点思考：为何是连接A1B,而不是C1D? C以折叠的观点来看，C1D的连线是在多面体的内部，而不是外部，

连接后，容易计漏A1-BC1D体积。

B设计意图：从学生手头的资料选题，通过思路分析提高学生的数学思维能力，

并规范解题过程，进行方法总结，进一步提高学生的综合素养。

C1B1变式1：在(2)条件下，求A到面A1CD的距离

设计意图：通过变式的方式，引导学生对体积典型方法、模型的思考

减轻学生的学习负担，提高学生学习效率。

变式2：在(2)条件下，求三棱锥C1A1CD的体积

设计意图：通过提问环节，师生共同探究解法，在不同解法的呈现过程中

加深学生对各种方法的比较、理解与认识，提高学生知识迁移能力，培养ADCBB1A1C1

提高学生的数据分析、空间想象、逻辑推理等数学素养。

四、课堂练习

练习、(17国2)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直与底1面ABCD，ABBCAD,BADABC900.(2)若PCD的面积为27，

2求四棱锥PABCD的体积。P

AD

BC

设计意图：通过高考真题，提升学生对方法的进一步认识，渗透方程的思想，培养提高学生的思维能力，创新能力。

五、课堂小结

求体积思维导图平行转移法转移法变换顶点高难求直接法三棱锥1VS底h3中点转移法三棱锥立体几何中高易求等积法的体积问题求点到面距离不规则割补法

设计意图：以思维导图简图的形式回顾本节课要点，进一步强化学生认识，提高学生学习能力与综合运用能力。

六、作业布置：

1．完成册P95-练习2，考向二例1（18年国1）

2.课后思考1：如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC,ACBC2,A1A4,AB22,M,N分别是CC1,AB中点，求三棱锥B1AMN的体积。课后思考2：在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面为ABCD为棱长为2的正方形，DD13.求三棱锥A1BDC1的体积。

设计意图：通过课后练习，巩固本节课

学习内容，帮助学生灵活掌握本节课思想

方法提高学生的自我学习的能力与核心素养。

课后思考1

课后思考2

附录：近年全国1卷高考试题

【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且BAPCDP90．

（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，8APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

3

【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．

（1）求证：G是AB的中点；

（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

E

A

G【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，

(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED；

(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC，

三棱锥E- ACD

的体积为

PDBC6，求该三棱锥的侧面积．

3【2014,19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.（1）证明：B1CAB;（2）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC=BC=AA1的中点．

（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

设计意图：让学生进一步熟悉高考试题，把握备考方向。

C1A11AA1，D是棱2B1DCAB