3.3.4 两条平行直线间的距离教案及板书设计

3.3.3

点到直线的距离

3.3.4

两条平行直线间的距离

目标定位

1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.

自

主

预

习

1.点到直线的距离

(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝2.两平行直线间的距离

(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离

d＝|C1－C2|. A2＋B2即

时

自

测

1.判断题

(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.(√) (2)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝y0；到y轴的距离d＝x0.(×) (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离.(√) (4)运用两平行线间的距离公式时，要求的l1与l2两直线中x，y的系数必须分别对应相等.(√) 提示

(2)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；到y轴的距离d＝|x0|. 2.点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

) 32A.2

2B.2

3C.2

1

D.2

|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2|1＋1＋1|32解析

d＝2＝2.

1＋（－1）2答案

A 3.两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(

)

5A.22

解析

d＝答案

A 2B.2

|2－（－3）|5222＝2.故选A.

1＋1C.52

D.2 4.点P(m，1)到直线l：2x＋y－1＝0的距离d＝1，则实数m的值等于________. 解析

由已知5答案

±2|2m＋1－1|55＝1，即|m|＝，∴m＝±22.

22＋12

类型一

点到直线的距离

【例1】

求点P(3，－2)到下列直线的距离：

31(1)y＝4x＋4；

(2)y＝6；

(3)x＝4. 31解

(1)把方程y＝4x＋4写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|3×3－4×（－2）＋1|18＝5. 223＋（－4）(2)法一

把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝|0×3＋（－2）－6|＝8. 02＋12法二

因为直线y＝6平行于x轴，

所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴，

所以d＝|4－3|＝1. 规律方法

1.求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.

2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.

[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

3.几种特殊情况的点到直线的距离：

(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；

(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 【训练1】已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m等于(

) 1A.0或2

11C.－2或2

1B.2或－6 1D.0或－2

4－2－1－3解析

由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝3－12＋41或m×2＋2＋3＝0，所以m＝2或m＝－6.

答案

B 类型二

两平行线间的距离

【例2】

求两平行线l1：2x－y－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0之间的距离. 解

法一

在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)，则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为

d＝|4×0＋（－2）×（－1）＋3|55＝.∴l与l间的距离为. 1222224＋（－2）[来源学_科_网]

3法二

将直线l2的方程化为：2x－y＋2＝0. 3又l1的方程为：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝2，

又A＝2，B＝－1，

3－1－25由两平行直线间的距离公式得：d＝2＝. 2＋（－1）22规律方法

1.针对这个类型的题目一般有两种思路：

(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

(2)利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|.

A2＋B22.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.

(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，

则d＝|x2－x1|；

(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，

则d＝|y2－y1|. 【训练2】

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程. 解

∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

|b－6|根据两平行直线间的距离公式得2＝3，

5＋（－12）2解得b＝45或b＝－33. ∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0 或5x－12y－33＝0. 类型三

距离公式的综合应用(互动探究) 【例3】

已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点. (1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值. [思路探究] 探究点一

经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有几条？求直线方程时需注意什么？

提示

有且仅有两条，在解决直线方程的问题时，要注意直线斜率是否存在，以免漏解或错解. 探究点二

如何求几何最值问题？

提示

几何最值问题的求法有两种：

(1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解.

(2)利用几何定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值. 2x＋y－5＝0，解

法一

联立⇒得交点P(2，1)，

x－2y＝0当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，

∴|5k＋1－2k|44＝3，解得k＝，∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 233k＋1而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，

故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.

法二

经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴|5（2＋λ）－5|＝3，

（2＋λ）2＋（1－2λ）21即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或2，

∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 2x＋y－5＝0，(2)由解得交点P(2，1)，

x－2y＝0，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝10. 规律方法

1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条.一定要注意直线斜率是否存在.

[来源学科网]2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 【训练3】已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0). (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；

(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大. 解

(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则1＝0，解得C′(－1，1)，所以直线AC′的方程为y＝1. y＝1，2由得l与直线AC′的交点P3，1，此时|AP|＋|CP|取最小值为5. 3x－y－1＝0b－0a＋2b＋01＝－3，且3·2－2－a－2

(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则n－4m＋0n＋41＝－3，且3·2－2－1m－02x＋y－9＝0，＝0，解得B′(3，3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由得AB′3x－y－1＝0与l的交点Q(2，5)，此时||AQ|－|BQ||取最大值为5.

[课堂小结] 1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2的前提是直线方程为一般式.特别地，当直线方程中A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解. 2.两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想. |C1－C2|二是直接套用公式d＝2，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注A＋B2意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.

1.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为(

) A.3

解析

d＝答案

C 322.若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是2，则实数a为(

) A.－1

C.－1或5

B.5 D.－3或3 |1－a＋1|32＝，∴a＝－1或5，故选C.

22B.2

|－7－（－12）|＝1.

223＋4

C.1

1

D.2

解析

由点到直线距离公式：答案

C 3.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________. 解析

d＝|3－(－2)|＝5.

答案

5 4.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程. 解

设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，

由两条直线间的距离为2，知则m＝32或m＝－20，

故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

基

础

过

关

1.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(

) 7A.5

7B.15

4

C.15

2

D.3

|6－m|22＝2. 5＋（－12）解析

l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|422＝15.

9＋12

答案

C 2.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(

) A.a>7

C.a>7或a<－3

解析

根据题意，得答案

C 3.若点(a，2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则

a＝________. 解析

直线l：y＝x－3可变形为x－y－3＝0.

由点(a，2)到直线l的距离为1，得答案

5±2 4.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________. 解析

因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y＝3x＋b，化为一般式得3x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b|（3）＋（－1）22

B.a<－3 D.a>7或－33，解得a>7或a<－3.

3＋4|a－2－3|＝1，解得a＝5±2.

1＋（－1）2＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0.

答案

3x－y＋10＝0或3x－y－10＝0 5.若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________. 解析

|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离.d＝答案

22 6.直线l过原点，且点(2，1)到l的距离为1，求l的方程. 解

由题意可知，直线l的斜率一定存在. 又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0. |2k－1|由点(2，1)到l的距离为1，得2＝1. k＋14解得k＝0或k＝3. ∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0. |0＋0－4|22＝22.

1＋1

7.求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程. 解

法一

设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二

在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三

直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0，点P(2，－1)到直线3x3－y－4＝0的距离d＝，由于点P(2，－1)到两直线距离相等，

10|7＋m|3所以＝，解得m＝－10或m＝－4(舍去)，

1010所以直线l的方程为3x－y－10＝0. 能

力

提

升

8.两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离d满足的条件是(

) A.0

C.0

B.0

当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0

答案

B 9.已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(

) A.2x＋3y－18＝0

B.2x－y－2＝0 D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 解析

设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得|－2k－2＋4－3k||4k＋2＋4－3k|2＝，∴k＝2或k＝－3.

1＋k21＋k2∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.

答案

D 10.若直线m的被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)

解析

两平行线间的距离为d＝|3－1|＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l11＋1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30＝15°.

答案

①⑤

11.已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1).试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围. 解

由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，

则|PQ|＝（a＋2）2＋（b＋2）2，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值. 如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：（－2－1）2＋（－2－0）2＝13. [来源学科网ZXXK]

当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0. 则Q点到直线AB的距离d＝25∴2≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13. 探

究

创

新

12. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解

(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0

212＋12

(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，

1所以k＝－k＝－AB1＝－3，

2－（－1）6－（－3）故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.