2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教学设计

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4平面与平面之间的位置关系

●三维目标

1．知识与技能

(1)正确理解空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系．

(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学态度．

2．过程与方法

(1)经历空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系及面面关系的基本方法．

(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)在对空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲．

(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．

(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值．

●重点难点

重点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系．

难点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的判断．

重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面及平面与平面之间的位置关系．然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点．

●教学建议

空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系是空间几何中两种重要的位置关系．可以让学生通过直观感知及自主学习的方式，完成本节知识的学习，教师在此过程中适时引导和点拨，最后通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力，为今后进一步学习空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系打下基础．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：空间中直线与平面有几种位置关系？⇒

引导学生通过观察长方体，给出空间中直线与平面的三种位置关系.⇒通过引导学生回答所提问题理解“空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系”.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握空间中直线与平面的三种位置关系.

⇒通过例2及其变式训练，使学生理解平面与平面之间的位置关系.⇒⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图课标解读

形语言和符号语言表示．(重点、易错点) 2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)

【问题导思】

直线和平面的位置关系

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

【提示】

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

直线和平面的位置关系

位置

关系

直线a在平

面α内

直线a与平

面α相交

直线a与平

面α平行

公共点

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

符号表示

图形

表示

a⊂α

a∩α＝A a∥α

【问题导思】

两个平面的位置关系

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

【提示】

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．

空间两个平面的位置关系

位置关系

两平面

平行

无数个点

(共线) 图示

表示法

公共点个数

α∥β

0个

两平面

相交

α∩β＝l

下列说法：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【思路探究】

结合直线与平面的位置关系的定义求解．

【自主解答】

对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.故①是错误的．

对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．故②是错误的．

直线与平面的位置关系

对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.故③是错误的．

对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故④是正确的．

综上所述，正确的个数为1. 【答案】

A

1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．

2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．

若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

【解析】

由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．

【答案】

D

已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．

【思路探究】

由平面间的位置关系逐一判断．

【自主解答】

①错．a与b也可能异面；

②错．a与b也可能平行；

平面与平面间的位置关系

③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，

∴a与b无公共点；

④对．由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面；

⑤错．a与β也可能平行．

【答案】

③④

两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．不能确定

【解析】

如图所示，由图可知C正确．

【答案】

C

因思维不全面致误

设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(

) A．有且只有一个

B．恰有两个

C．没有或只有一个

D．有无数个

【错解】

如图，过P作a1∥a，b1∥b. ∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A. 【答案】

A

【防范措施】

在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形，如本题在考虑上述情况的同时，还应注意直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行的情形．

【正解】

(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，则过P与a，b都平行的平面不存在．

(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，如图所示，过P作a1∥a，b1∥b. ∵a1∩b1＝P，

∴过a1、b1有且只有一个平面．

【答案】

C

1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式



有公共点按公共直线与平面相交直线(1)点的个直线与平

与平面有唯一公共点数分类直线在平面内直线与面不平行

平面有无数公共点(2)在平面直线与平面相交直线在平面外内分类直线与平面平行按是否直线在平面内直线与平面平行直线与平面没

2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法．

1．圆柱的两个底面的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．平行或异面

D．相交或异面

【解析】

圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．

【答案】

B 2．直线a与平面α相交，则a与α的公共点的个数为(

) A．0

C．2

B．1

D．无数

【解析】

由直线与平面相交的定义可知，直线a与平面α相交，a与α的公共点有且只有一个．

【答案】

B 3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是

(

) A．平行

C．异面

B．相交

D．不确定

【解析】

∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．

【答案】

B 4．由已知条件作图：a∥α，b∩α＝A，c⊄α，b∩c＝A.

【解】

如图．

一、选择题

1．(2013·临沂高一检测)直线l与平面α不平行，则(

) A．l与α相交

B．l⊂α

C．l与α相交或l⊂α

D．以上结论都不对

【解析】

若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α. 【答案】

C 2．直线a在平面γ外，则(

) A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

【解析】

直线a在平面γ外，其包括直线a与平面r相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点．

【答案】

D 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

【解析】

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D. 【答案】

B 4．下列说法中正确的是(

) A．如果两个平面α、β只有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a

B．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线

C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A

D．两平面ABC与DBC相交于线段BC

【解析】

B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．

【答案】

A 5．如果空间的三个平面两两相交，那么(

) A．不可能只有两条交线

B．必相交于一点

C．必相交于一条直线

D．必相交于三条平行线

【解析】

空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选A. 【答案】

A 二、填空题

6．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________．

【解析】

∵α∥β，∴α与β无公共点，

∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 【答案】

a∥β

7．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是________．

【解析】

当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面．当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填0或1. 【答案】

0或1 8．(2012·银川高一评估)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

【解析】

如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.

【答案】

6 三、解答题

9．已知直线l∩平面α＝A，直线m⊂α，画图表示直线l和m的位置关系．

【解】

直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况，l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．

10．如图2－1－20，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

图2－1－20 【解】

由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点．

又a⊂α，

∴a与β无公共点，

∴a∥β. 11．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

【解】

三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？

【思路探究】

依据线与面的位置关系求解．

【自主解答】

∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，

∴B1D1⊂平面A1C1，

∵B1∈平面BC1，D1∉平面BC1，

∴直线B1D1∩平面BC1＝B1，同理直线B1D1与平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交．

在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，

∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC.

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题根据对角线B1D1与长方体六个面交点的个数判断直线与平面的位置关系．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．

【解】

(1)B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，

B1C与其余4个面相交．

(2)BD1与6个面都相交.