3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计一等奖

第三章

直线与方程

3.1.1

倾斜角与斜率

整体设计

三维目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=y2y1（x1≠x2），培养学生树立x2x1辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？

图1 新知探究

提出问题

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率

呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.

⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=y2y1. x2x1应用示例

例1

求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.

解：kAB=30=1，即tanα=-1，

5(2)又∵0°≤α＜180°，

∴α=135°.

∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°. 点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练

求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.

（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；

（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).

解：（1）∵P1P2与x轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°.

（2）k=tanα=2(2)=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.

25例2

已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A，

所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线. 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练

1,m)共线，求实数m的值.

223m3解：kAB==-1，kAC=，

132229m3∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC.∴=-1.∴m=. 1222112.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则+的值等于_____________. ab1答案：

21.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(变式训练

过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角. 答案：k=-1,倾斜角为3. 4拓展提升

已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞,45)∪(-,+∞).

32课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

（3）直线斜率的概念；

（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业

习题3.1

设计感想

本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间.