3.1.2 导数的概念优质教案设计

3.1.2 导数的概念 教学设计

标题：导数的概念

学情分析：

（1）学生已有知识基础

在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度；在之前函数零点的学习过程中，已有利用“二分法”逼近函数零点的经验，“逼近”的思想对于学生而言，并不陌生.因此，学生已经具备了一定的认知基础. （2）学生现有的思维水平

高二的学生有了一定的观察分析能力和逻辑思维能力，在解决实际问题时具有探究精神。但是，抽象逻辑思维能力和自主探究能力还有所欠缺. （3）学生可能遇到的困难

学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难. （4）学生的学习兴趣、风格和方法分析

学生喜欢图象、图表的形式呈现分析新知识，乐于动手参与课堂，逻辑性强、层次分明的知识讲解更容易让他们理解接受。所以，本节课我将几何画板与PPT结合，运用多媒体吸引学生的学习注意力，提高课堂听课积极性。同时，设置学生知识应用环节，让学生动手思考，完成建构性学习任务。在课的过程中及时总结，对知识与方法进行归纳，增加课堂教学的逻辑性和层次性。

教学目标：

（1）在探究速度模型求瞬时速度的计算过程中，体会逼近思想，学习从已知探求未知的思考方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养. （2）类比由平均速度形成平均变化率概念的探究过程，由瞬时速度给出瞬时变化的概念，认识到导数就是瞬时变化率，理解导数内涵.提高知识的类比迁移能力和归纳概括能力。

（3）能利用导数的概念解决简单的应用问题，加深对导数概念的理解。

教学重难点：

重点：利用逼近思想，抽象出一般函数瞬时变化率的概念，给出导数的概念；

难点：“逼近”思想理解瞬时变化率

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教学过程：

一、复习回顾

探究：高台跳水运动员距水面的高度与起跳后的时间存在函数关系：

h(t)4.9t26.5t10

下图是函数图像，根据图象计算运动员在0t65这段时间内的平均速度。

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教师提问：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？如何解决这个问题？

设计意图：让学生认识到平均速度只能粗略地描述某段时间内的运动状态，并不能精确刻画运动员在每一时刻的运动状态；而高台跳水运动员需要在跳水过程中做出各种不同的动作，为了设计不同时刻的不同动作，需要准确把握运动员在每一时刻的瞬时速度.引发学生的认知冲突，明确本节课学习的必要性. 二、问题探究

在研究运动员的运动状态前我们先引入一个新定义：

瞬时速度 把运动物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

问题1：已知高台跳水运动员距水面高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.求运动员在t=2时的瞬时速度. 教师提问：已知路程关于时间的函数，如何求运动物体在某时刻的瞬时速度？

学生在物理学习中已经接触了瞬时速度这个概念,所以学生可能会马上说出物理学中匀速运动时瞬时速度：位移/时间。

设计意图：（1），引导学生“以已知探求未知”，即从平均速度入手，寻求解决瞬时速度的思路，明确研究方法的合理性. （2）问题具体化，即求运动员在t2s时的瞬时速度.

三、自己动手解决问题

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教师引导学生讨论在t=2附近的情况。（此处超链接excel表格分析数据）

请两个学生上台在t=2之后（或之前），任选一个时刻2t，计算2,2t(或2t,2)上的平均速度，在表格中填入数据。学生填的表格数据可能如下：

教师引导学生归纳出：

h(2t)h(2)13.14.9tt教师引导学生类比二分法求方程的近似解的

“逼近”思想得出：

从2s到（2t）s这段时间内平均速度

vh(2t)h(2)13.1

th(2t)h(2)13.1

从而引出极限符号：简记为：limt0t当t0时，v即运动员在t=2s时的瞬时速度等于-13.1m/s.

设计意图：让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义.

学生根据老师给出的问题，自主归纳回答出以下问题：

跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：v跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：vlim函数f(x)从x0到x0t的平均变化率为：教师提问：

你能类比平均变化率概念的形成，给出一般函数瞬时变化率的概念吗？

函数f(x)在xx0处的瞬时变化率为：limf(x0x)f(x0)y

limx0xx0xsh(t0t)h(t0)

tth(tt)h(t0)s

lim0t0tt0tyf(x0x)f(x0)

xx

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四、形成概念

导数的定义：一般的，函数y=f(x)在点xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)y。我们称它为函数y=f(x)在xx0处的导数，记作limx0xx0xlimf(x0)或y|xx0即：f(x0)y|xx0limf(x0x)f(x0)y

limx0xx0x设计意图：由特殊到一般，抽象出数学问题，以问题引导的方式给出定义导数概念.符合学生的认知规律。可以降低学生的理解难度。

五、概念应用，加深理解

2请同学们运用导数的定义，求f(x)x在x2处的导数。

教师利用希沃投屏软件将学生的解答过程在屏幕投影，检查学生的学习情况，及时给出评价。

师生一起归纳：求导数的步骤：

（1）求函数的增量：yf(x0x)f(x0)

（2）求平均变化率：yf(x0x)f(x0)

xxy

x0x（3）取极限，得导数：f(x0)lim设计意图：熟悉导数定义，掌握求导步骤，了解导数内涵. 六、课堂小结

我们这节课学到了哪些东西？

1、知识方面：瞬时速度，导数的概念

2、数学思想方法：已知探求未知、有限到无限的思考方法、特殊到一般、具体到抽象的思想、逼近思想。

设计意图：培养学生学会归纳总结的学习习惯和数学思想方法意识。进一步巩固课堂学习效果。

七、布置作业

1、请同学们查阅相关资料，了解导数的概念产生的背景与过程。

2、结合上节课平均变化率的几何意义，请大家思考，导数的几何意义是什么？这是我们下节课要探究的问题。

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板书设计：

导数的概念

1.瞬时速度：t0附近t趋于0时，平均速度趋于的定值

2.切线斜率：x0附近x趋于0时，割线斜率趋于的定值

3.瞬时变化率（导数）

例.解：

练习：

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