1.2.2 充要条件ppt课件教学实录

充分条件与必要条件

预习课本P9～11，思考并完成以下问题

1．什么是充分条件、必要条件？

2．什么是充要条件？

[新知初探]

1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

2．充要条件

若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件(

) π1(2)α＝是sin α＝的必要条件(

) 62(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题(

) (4)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件(

) “若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

p⇒/ q

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

答案：(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

2C．x＝5 答案：D 3．设集合M＝{x|0

) A．充分不必要条件

C．充分条件

答案：B 4．“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．

答案：充分

充分条件、必要条件、充要条件的判断

[典例]

(1)(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

(1)由2－x≥0，得x≤2，

由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．x＝－1

D．x＝0

∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，

故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

(2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ<0，n≠0时，m·n<0. π反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈2，π，

π当〈m，n〉∈2，π时，m，n不共线．

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

(3)命题“若x≠y，则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x＝cos y，则x＝y”，这个命题是假命题，故x≠y⇒/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y，则x≠y”等价于命题“若x＝y，则cos x＝cos y”，这个命题是真命题，故cos x≠cos y⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

[答案]

(1)B

(2)A

(3)C

充要条件的判断方法

(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．

(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．

(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B

＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．

[活学活用]

1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由正弦定理，得故a≤b⇔sin A≤sin B，选A. 2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. ab＝，

sin Asin B

解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/

四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，

而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0，

∴p是q的充分不必要条件. 充分条件与必要条件的应用

[典例]

已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．

[解]

由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a

所以p：3a

由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，

3a≥－2，2所以a≤3，⇒－≤a<0，

3a<02－，0. 所以a的取值范围是3[一题多变]

1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．

解：由x2－4ax＋3a2<0且a>0得a

所以p：a

由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，

所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为綈p⇒綈q，所以q⇒p，所以B⊆A，

3a≥3，所以a≤－2，⇒a∈∅.

a>02．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a

由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，

所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，

3a≥－3，所以a≤0，⇒－1≤a<0. a<0所以a的取值范围是[－1,0)．

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

充要条件的证明

[典例]

证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [证明]

(1)充分性：∵ac<0，

c∴Δ＝b2－4ac>0，<0. a∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根．

设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，

c则x1·x2＝<0，

a∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．

(2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，cx1·x2＝a<0，

∴ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.

充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[注意]

证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．

[活学活用]

11已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：x0. y－x1111证明：(1)必要性：由x

又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y，

xy11得xy>xy，即x0.

层级一

学业水平达标

1．设p：x<3，q：－1

) A．充要条件

C．必要不充分条件

解析：选C

因为(－1,3)

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．

2．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(

) A．a≥b＋1 C．a2>b2

B．a>b－1

D．a3>b3

解析：选A

由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5/⇒4≥3.5＋1，故a>b/⇒a≥b＋1，故A正确．

3．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B. 4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．

5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(

) A．x≥0 C．log2(x＋1)>0 解析：选B

∵|x|＝x⇔x≥0，

∴选项A是充要条件．选项C、D均不符合题意．

对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，

∴x≥0或x≤－1. 故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．

6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，

所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：(－∞，1) 8．下列命题：

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为______________．

解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；

②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；

a2③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是11“两直线平行”的充要条件；

B．x2≥－x

D．2x<1

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

综上可知，真命题是④. 答案：④

9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形⇒/ △ABC是等腰三角形，

△ABC是等腰三角形⇒/ △ABC是直角三角形，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|，

a2＋b2所以c2＝(a2＋b2)r2；

反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则|c|＝r成立，

a2＋b2说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，

故p是q的充要条件．

10．已知命题p：对数函数f(x)＝loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0. (1)若命题p为真，求实数t的取值范围；

(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解：(1)因为命题p为真，则对数函数的真数

5－2t2＋7t－5>0，解得1

51，. 所以实数t的取值范围是25(2)因为命题p是q的充分条件，所以t1

51因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，所以只需a＋2≥，解得a≥. 221即实数a的取值范围为2，＋∞. 层级二

应试能力达标

1a1b1．“03”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1a1b解析：选A

当03成立，

1a1b所以是充分条件；当3>3时，

有a

所以不是必要条件，故选A. 2．下列说法正确的是(

) A．“x>0”是“x>1”的必要条件

B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件

C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件

D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件

解析：选A

A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A. 3．已知直线l，m，平面α，且m⊂α，则(

) A．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件

B．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件

C．l∥m⇒l∥α

D．l∥α⇒l∥m

解析：选B

很明显l⊥α⇒l⊥m，l⊥m

⇒/ l⊥α，l∥m

⇒/

l∥α，l∥α

⇒/ l∥m，故选B. 14．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的2取值范围是(

)

10，

A.210，

C.210，

B.210，

D.2解析：选B

∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

11a<2，a≤2，1∴或解得0≤a≤. 2a＋1≥1a＋1>1，5．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．

1－a≠0，解析：方程(1－a)x＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是

Δ≥0，2

a≠1，a≠1，即⇔

2a＋2＋161－a≥0a≤2或a≥10.

设此时方程的两根分别为x1，x2，

a≠1，a≤2或a≥10，则方程有两个正根的充要条件是x＋x>0，xx>01212

⇔

a≤2或a≥10，a＋2a－1>0，4a－1>0a≠1，

⇔1

解析：当方程x2＋y2＋kx＋3y＋k2＝0表示圆时，

k2＋3－4k2>0，解得－1

所以－1

即实数m的取值范围是(－1,1]．

答案：(－1,1] 7．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：∵q是p的必要不充分条件，

∴p是q的充分不必要条件．

对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10. 设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，由题意知PQ，∴m>0，1－m<－2，1＋m≥10

m>0，或1－m≤－2，1＋m＞10，

解得m≥9，∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋l. (1)证明：l＝－1是{an}是等差数列的必要条件．

(2)试问：l＝－1是否为{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．

解：(1)证明：∵a1＝S1＝4＋l，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.∴a2＝5，a3＝7. ∵{an}是等差数列，则2a2＝a1＋a3，

即2×5＝(4＋l)＋7，解得l＝－1. 故l＝－1是{an}是等差数列的必要条件．

(2)当l＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1，a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．

又∵an＋1－an＝2，

∴{an}是公差为2，首项为3的等差数列．

∴l＝－1是{an}是等差数列的充分条件．

又由(1)知l＝－1是{an}是等差数列的必要条件，

∴l＝－1是{an}是等差数列的充要条件．