信息技术应用 图形技术与函数性质教学实录及点评

教学基本信息

课题

利用导数研究函数的零点

地方课程

学段：

选修1-1

任课教师：史红静

年级

时间

高二

2018.3.27 是否属于

地方课程或校本课程

学科

相关

领域

教材

数学

数学

书名：《普通高中课程标准试验教科书•数学(选修1-1)》

出版社：人民教育出版社

出版日期：2007年1月

教学背景分析

教学内容：导数作为研究函数的单调性、最值等问题的最一般，最有效的工具，对我们描述函数图象带来了极大的方便。导数的考察重在应用，其中函数的零点或方程的根的问题，是命题的热点。然而，导数的局部特征约束了其对函数全局性质的把控。因此，函数的有界性和渐近行为能够很好的补充导数对函数图象特征的刻画不足。为了引起学生们的重视，心中有图，本节课借助图形计算器技术支持，学生更透彻地把控函数的图象特征，从而准确解决函数的零点或方程的根的问题。

学生情况：知识上：学习了导数的概念，能够熟练利用导数研究三次以下函数、指、对数函数的四则运算构成的新函数的单调区间，极值和最值。熟悉参变分离的基本思想方法。心理上：具备了一定的辨析能力、语言表达能力，初步形成了数形结合的思维方法。薄弱处：转化与化归的思想，逻辑论证的严谨性有待于指导和提高。

教学方式：

学生采取借助图形计算器实验感知，总结归纳机器作图背后的数学原理。主动探索，大胆实践，在探究过程中亲身经历认知冲突，体验知识的发展过程，在实践中提高知识的应用能力。

教学手段：PPT《利用导数研究函数的零点或方程的根》，图形计算器辅助

技术准备：电脑

图形计算器

1

教学目标(内容框架) 教学过程：学生熟练掌握利用导数工具，分析函数的单调性、极值和最值。在分析典例过程中，产生认知冲突——函数图象是否穿轴？无穷远处函数图象的趋势如何？无定义点处函数图象怎么画？利用图形计算器的作图功能，辅助突破困境，并探究机器作图背后的数学原理，达成共识。再次研究函数图象特征时，学生关注函数的有界性和渐近行为，能准确画出简单函数的大致图象，做到“心中有图”，并运用函数图象的特征，准确讨论函数的零点或方程的根。

教学目标：学生通过数学实验体验，形成敢于质疑，

理性分析，不断完善的科学、严谨的学习态度。获得“利用导数准确画出简单函数的大致图象”的能力，做到“心中有图”，并运用函数图象的特征，讨论函数的零点或方程的根。强化“转化与化归”、“数形结合”的数学思想方法。

教学重点：利用导数研究函数的零点或方程的根

教学难点：准确分析函数的图像特征

教学过程(文字描述)

教学过程(表格描述) 教学阶段

设置意图

复习利用导数研究函数零点问题的方法。

技术应用

时间安排

教师活动

学生活动

小组汇报课前作业4x情况

（2）f(x)2

（1）f(x)x33x；

x1

环2.请其它小组点评，互相交流。

节3解析（1）因为f(x)x3x，所以f(x)3(x1)(x1)，

一：

交当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表一：

流

展 表一

示，引互评，找入出问题，新通过技术

课

支持——因此，f(x)有3个零点。

图形计算器辅助作4x4(x21)（2）因为f(x)2，所以f(x)2，

图，纠错x1(x1)2中达成共

2 1.请小组展示课前作业：

探究下列函数的大致图象。

投影仪

图形5计′

算器

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况也如表一，

但当x0时，f(x)0，且当x时，f(x)0；

当x0时，f(x)0，且当x时，f(x)0；

因此，f(x)仅有1个零点。

识。

强调关注函数的有界性和渐近行为。

图1 图2 教师点评：利用导数研究函数图象时，一定要注意图形末端的走势，因为导数仅仅反应的是函数的局部特征。

环节二：融入情境，确定问题

例1：已知f(x)ex（x0），讨论方程f(x)mx2解的个数；

任务一：请说一说我们从什么角度研究这个问题？

具体步骤：

提出研究的手段及具体的方案。

导入新课：

转化为两pp个函t 数的交点问题。

ex方程f(x)mx解的个数

方程2m根的个数

x22′

ex

函数g(x)2与函数ym交点的个数

x

任务二：请写出例1详细、准确的解题过程。

环节三：

xex(x2)则g(x)，令g(x)0，则x2. 4探x究当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表二：

数学 表二

原理

ex例1解析：设g(x)2(x0)，

x学生给出完善的解题过程。

体会方程的思想，函数的思想之间的有效转化。

图形17计′

算器

3

所以g(x)mine2g极小值(x)g(2)

4e2ex故，当m时，

函数g(x)2与函数ym有两个交点，4xe2ex即方程f(x)mx有两个解，当m时，

函数g(x)24x2与函数ym有一个交点，即方程f(x)mx2有一个解，当e2exm时，

函数g(x)2与函数ym没有交点，即方程4xf(x)mx2无解。

变式1：已知f(x)ex，(x0)讨论方程f(x)mx2解的个数；

任务三：请你研究例1中约束条件x0换成x0得到的变式1。

解析：

法一由例1可知，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如

环节四：变式拓展

下表三：

表三

展示探究成果，大胆质疑，科学评价，虚心接受同学、老师的点评。学生经历认知冲突：函数图象是否穿轴？无穷远处函数图象的趋势如何？无定义点处函数图象怎么画？利用图形计算器辅助

思考中前行，问题中成长。充分调动学生群体的内策力，让学生暴露问题。欣赏和学习别人的过程中，形成有助于激励学生积

当x0时，g(x)0，且当x时，

g(x)0；当x0时，g(x)，

图形计算器

18′

图3

4

作图，给ee故当m时，方程f(x)mx2有3个解，当m时，

方出完善的44解题过程。并探2e程f(x)mx2有2个解，当0m时，方程f(x)mx2求机器作4图背后的数学原有1个解，当m0时，方程f(x)mx2无解。

理。

2解释：当m0时，函数ymx表示开口向下的抛物线，

且图象位于x轴下方，而函数f(x)ex的图象位于x轴上

22方，因此方程f(x)mx无解；当m0时，ymx0，

此时方程f(x)mx2也必然无解；当m0时，需要前面的

准确画图。这也验证了前面的讨论。

变式2：已知f(x)ex，讨论方程mf(x)x2解的个数；

任务四：请你研究例变式2.

x2数学原理解析：<法一

>设g(x)x，(x0) e的再次应用，强化x(2x)本节课主则g(x)，令g(x)0，则x2. xe要知识。并利用图当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表四：

形计算器 表四

进行验

证，体验成功的喜悦。

22极探究的氛围。通过互评，学生对作图的科学性有更深刻的认识，进而提高准确作图的水平。通过回答问题，强化学生数形结合的分析能力

所以，g极小值(x)g(0)0，g极大值(x)g(2)4. e2且，当x0时，g(x)0，且当x时，g(x)0；

5

图4 因此，当4或m0时，方程f(x)mx2有1个解，当m2em44时，

方程f(x)mx2有2个解，当0m时，2ee2方程f(x)mx2有3个解，当m0时，方程f(x)mx2无解。

1<法二>利用变式1的结论，用m换变式1中的m即可。注意对m0要单独考虑。

反思小结，概括提炼。检验教学目标的达成。肯定学投3生的影′

进步，仪

增强他们的自信心，鼓励他们不断的进步。

思考：本节课你有哪些收获？

总结利用导数画函数的大致图象的基本步骤和注意事项。

①写出函数的定义域；

环②利用导数研究它的单调性、极值与最值；

节③关注当x趋近于边界点时，函数值的有界性和渐近行为（通五：常包括是否穿轴，或是否渐近某个确定值等）；

总④画出函数的大致图象（草稿纸上），回答问题。

结、

沉

淀

思想教育：小事成就大事，细节成就完美。生活的一切原本都是由细节构成的，如果一切归于有序，决定成败的必将是微弱沙砾的细节。

总结，归纳利用导数准确作出函数的大致图象的注意事项。

6

课后作业：

x1.

已知函数f(x)e,xR．若m0，讨论函数环g(x)f(x)m(x1)2零点的个数。

节九：2.

已知函数f(x)lnxax1,aR是常数.讨论函数布置yf(x)零点的个数情况。

作业

3.

设函数f(x)(x1)exax2,aR.

若函数f(x)有两个零点，试求a的取值范围。

课后完成

布置作业

图形45计′

算器，直尺

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