3.3.4 两条平行直线间的距离公开课教案（教学设计）

北大附中云南实验学校高一数学万雪莲

必修二

第三章

直线与方程

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.掌握两条平行直线间的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题. 2.初步掌握用解析法研究几何问题.

知识点

两条平行线间的距离

1.定义：夹在两平行线间的公垂线段的长. 2.图示：

3.求法：转化为点到直线的距离. 4.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|A＋B22. 思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.

1.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(

√

)

题型

两平行线间的距离

例1

(1)已知两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0，则l1与l2间的距离为________.

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答案

334

685解析

l2：6x＋10y＋5＝0可以化为3x＋5y＋＝0，

232334∴l1与l2间的距离d＝22＝＝. 68343＋5(2)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

10

45－126m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 44062＋22(3)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|，解得C＝1，

22＋12∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx|b1－b2|＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋k＋1C2＝0，且C1≠C2时，d＝|C1－C2|

.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. A2＋B2跟踪训练2

(1)直线2x－7y＋8＝0和2x－7y－6＝0的距离为(

) 1453253653853A.

B.

C.

D.

53535353答案

A (2)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(

) 1A.1

B.2

C.

D.4 2

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答案

B |－3－7|36解析

由两条直线平行可得－＝－，解得m＝8.由两条平行线间的距离公式得d＝224m3＋4＝2. (3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________. 答案

x＋2y－3＝0 解析

当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以kAB＝－1－1＝2，

0－11所以两条平行直线的斜率为－，

21所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，

2即x＋2y－3＝0.

对称问题

典例

(1)点A(2,3)关于Q(1,2)的对称点A′的坐标为________. 答案

(0,1) 解析

设A′的坐标为(x′，y′)，

则x′＋2y′＋3＝1，＝2，

22∴x′＝0，y′＝1，∴A′的坐标为(0,1). (2)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(

) A.(－2,1)

C.(2，－5)

考点

对称问题的求法

题点

点关于直线对称

答案

B 解析

设对称点坐标为(a，b)，

a－3b＋42＋2－2＝0，由题意，得b－4a＋3＝1，B.(－2,5) D.(4，－3)

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a＝－2，解得即Q(－2,5). b＝5，

(3)在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线l的方程为(

) A.x－4y－11＝0

C.x－2y＋7＝0

考点

对称问题的求法

题点

直线关于直线的对称问题

答案

D y＝2x＋1，x＝－3，解析

设直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线是直线l，联立得

y＝x－2，y＝－5，B.4x－y＋11＝0 D.x－2y－7＝0

∴直线l过点(－3，－5). 在直线y＝2x＋1上取一点A(0,1)，

设点A关于y＝x－2对称的点为B(a，b)，

则点B在直线l上. ab＋1设AB与直线y＝x－2的交点为M，则M，，

22b－1a－0＝－1，∴b＋1a2＝2－2，

a＝3，解得

b＝－2，

∴直线l过点(－3，－5)和(3，－2)，

y＋5x＋3∴直线l的方程为＝，整理得x－2y－7＝0. －2＋53＋3[素养评析]

关于对称问题，分成两大类，即中心对称和轴对称. x＝2a－x0，(1)点关于点的对称：求A(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点A′(x，y)，可以利用公式y＝2b－y0，

其实它就是中点坐标公式的变形. (2)点关于直线的对称：求P(x0，y0)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用y－yA－B＝－1，x－x·x＋xy＋yA·2＋B·2＋C＝0，0000

可以求点P′的坐标. 对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.

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1.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为25，则C的值为(

) A.9

B.11或－9 C.－11

D.9或－11 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求参数的值

答案

B 解析

两平行线间的距离为d＝|－1－－C|12＋－22＝25，

解得C＝－9或11. 2.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(

A.2

B.4

C.5

D.17 考点

两点间的距离公式

题点

求两点间的距离

答案

D 1＝x－2解析

由题意知2，解得x＝4，y＝5－3y＝1.

2，

∴P(4,1)，则|OP|＝42＋12＝17. 3.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

(5，－3) 解析

由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|最小，

直线MP的方程为y－1＝－43(x－2)，

解方程组3x－4y－27＝0，y－1＝－4得x＝5，3x－2，

y＝－3，

∴所求点的坐标为(5，－3).

)

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已知两平行直线，其距离可利用公式d＝|C1－C2|求解，也可在已知直线上取一点，转化为点22A＋B到直线的距离. 课后作业：

一、选择题

1.点(1，－1)到直线y＝1的距离是(

) A.2

B.22

C.3

D.2 考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

D 解析

d＝|－1－1|1＋0＝2，故选D. 2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(

) A.1

B.3

C.2

D.5 答案

D 解析

d＝|0＋2×0－5|12＋22＝5. 3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为(

) A.1

B.2

C.3

D.2 答案

B 解析

d＝|1－－1|12＋12＝2. 4.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(

A.4

B.21313

C.51326

D.71326

答案

D 解析

∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，

∴36＝m4，∴m＝2，

化6x＋4y＋1＝0为3x＋2y＋12＝0，

1－－37∴d＝2271332＋22＝13＝26.

)

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5.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(

) A.0

B.34

C.3

D.0或34

答案

D 解析

点M到直线的距离d＝|m＋4－1|m2＋1＝3，

∴m＝0或34. 6.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(

) A.3

B.4

C.5

D.6 考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

C 解析

设AB边上的高为h，

则S1△ABC＝2|AB|·h，

|AB|＝3－12＋1－32＝22，

AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，

AB边所在的直线方程为y－31－3＝x－13－1，即x＋y－4＝0. 点C到直线x＋y－4＝0的距离为|－1＋0－4|52＝2，

因此，S15△ABC＝2×22×2＝5. 7.已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(A.79

B.－13

C.－79或－13

D.－719或3

考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

答案

C 解析

由点到直线的距离公式可得

|－3a－4＋1||6a＋3a2＋1＝＋1|a2＋1，

化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

解得实数a＝－719或－3.故选C. )

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8.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(

) A.0条

B.1条

C.2条

D.3条

考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

B x－y＋1＝0，解析

联立

x＋y－1＝0，x＝0，得

y＝1.

∴两直线交点坐标为(0,1)，

∵交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件. 二、填空题

9.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________. 17答案

－3或

3|5×2－12k＋6|解析

∵＝4，

52＋122∴|16－12k|＝52，

17∴k＝－3或k＝. 310.直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________. 1答案

251解析

直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由平行线间的距离公式得22＝. 24＋3211.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

x＝－3或7x＋24y－75＝0 解析

(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；

(2)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，

即kx－y＋3k＋4＝0. 原点到直线l的距离d＝＝3，

k2＋－12|3k＋4|5－52

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7解得k＝－. 24直线l的方程为7x＋24y－75＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 三、解答题

12.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程. 解

方法一

∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，

∴直线l的斜率存在，设为k. 又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0. 由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，

得|k－1＋2||－3k－1＋2|＝，

22k＋1k＋1解得k＝0或k＝1. ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 方法二

当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等. ∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，

∴直线l的方程是x－y＋2＝0；

当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等. ∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，

∴直线l的方程为y＝2. 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2. 13.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程. 解

由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为y＝kx. 由题意知|4k－3|＝32，

k2＋1－12±314解得k＝. 2若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0. |4＋3－a|由题意知＝32，

2解得a＝1或a＝13. －12＋314故所求直线l的方程为y＝x，

2－12－314y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 2

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14.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(

) 6595A.6

B.3

C.

D.

510考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

C 解析

如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.

由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3. 由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离

|3－－3|65d＝＝，

512＋2265即点P到直线l3的距离为. 515.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

解

设P(x，y)为角A的平分线上任一点，

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，

所以由点到直线的距离公式，

有|4x－3y－13||3x＋4y－16|＝，

42＋－3232＋42即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，

即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，

整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0. 易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程.