1.2.2 充要条件教学目标设计

1.2.2

充要条件

学习目标

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.

知识点一

充要条件的概念

思考1

命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？

思考2

若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

梳理

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. 知识点二

充要条件的判断

1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类

(1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；

(2)充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p；

(3)必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p；

(4)既不充分也不必要条件，即p⇏q且q⇏p. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

类型一

充要条件的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根. 反思与感悟

充要条件的常用判断方法: (1)命题判断法

设“若p，则q”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件. (2)等价转化法

p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件. 跟踪训练1

(1)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的(

) 2A.充要条件

C.必要不充分条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

求充要条件

例2

求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件. 反思与感悟:

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件. 跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由. 命题角度2

充要条件的证明

例3

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

跟踪训练3

已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1，该条件是否为必要条件？试证明你的结论.

1.“x2>2 017”是“x2>2 016”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.在△ABC中，“A>60°”是“sin A>A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.下列命题为假命题的是(

) A.在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件

B.已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1 C.在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件

D.lg x>lg y是x>y的充要条件

4.直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________. 5.已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围.

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

3”的(

) 2