1.2.3 空间几何体的直观图教学设计实例

1.2.3

空间几何体的直观图

教学目标

通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法. 重点难点

教学重点、难点：用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图. 课时安排

1课时

教学过程

情境导入：

画几何体时，想要画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？指出课题：空间几何体的直观图.

探究一：水平放置的平面图形的直观图画法

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图

1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=1MN.以点N′2为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.

3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1

（教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤，让学生发表自己的见解，教师及时给予点评。）

探讨斜二测画法的步骤：

1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. 3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度

为原来的一半. 试一试

画出水平放置的边长为2的等边三角形和正方形的直观图。思考直观图面积和原图面积有什么关系？

圆的直观图是什么样的？

用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.（学生思考圆的直观图是什么的图形，老师展示画法）

（1）如图2(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.

图2 1CD，将A′B′ n21等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=EF,G′H′=21GH，….

2（2）如图2(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图2(3)〕

探究二空间几何体的直观图的画法

用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图

1°画轴.如图3，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图3 2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=1.5cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. 3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），

就得到长方体的直观图.

想一想：空间几何体的画法和水平放置的平面图形的画法有什么不一样的？、

试一试：已知几何体的三视图，

用斜二测画法画出它的直观图

.

图4

（让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.）

教师分析：

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.

(1)

(2) 图5 .

点评：

空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.

当堂检测

1. 下列结论是否正确.

(1)角的水平放置的直观图一定是角．

(2)相等的角在直观图中仍相等．

(3)相等的线段在直观图中仍相等．

(4)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．

2. 利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图是三角形

②平行四边形的直观图是平行四边形

③正方形的直观图是正方形

④菱形的直观图是菱形

其中正确的是

(

)

3.下图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA ′ B ′ C

′

，其中A

′

B

′

∥y

′轴，B ′

C

′

∥x ′轴，若ΔA ′ B ′ C

′的面积是3，则ΔABC的面积是（

）