习题2.3教案板书设计

2.3.1

直线与平面垂直的判定定理

一．教学目标：

(一）知识与技能：

1.在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义; 2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；

3.能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. （二）过程与方法：

1.通过生活实例，让学生抽象出数学概念，探究事物本质，体验探究的过程；

2.培养观察能力、思维能力和学习能力。

（三）情感态度与价值观：

1.

通过生活实例，让学生感受到数学在生活中无处不在；

2.

不断引导学生发挥主观能动性，培养自身努力探究的优良品质。

二．教学重难点

重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定定理

难点：建立垂直关系的转化思想

三．教具

三角板，三角形纸片

四．教学过程

【环节1】创设情境，导入线面垂直概念：

【师】上课！同学们好！我们今天要学习的内容是直线与平面垂直的判定定理。大家首先回顾一下，直线与平面有几种位置关系呢？

【生】直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交

【师】很好！那么在直线和平面相交这一种位置关系中，有一种特殊情况是直线和平面垂直，这就是我们今天要学习的内容。

【师】在生活中，有很多直线和平面垂直的例子，请大家看多媒体，比如大桥的桥柱和水面是垂直的；风力发电塔的塔身和地面是垂直的；咱们学校的国旗旗杆和地面是垂直的，那么你能举出来身边的线面垂直的例子么？好，这位同学你举一个例子吧。

【生】我站在地面上，我自身就是和地面垂直的。

【师】很好，坐下，这位同学你再来举一个例子。

【生】电线杆和地面是垂直的。

【师】很好，生活中线面垂直的例子比比皆是，有很多。那么，我们从生活的实例中抽象出来数学概念，思考一下我们该如何定义“直线和平面垂直”呢？

【师】我们知道，点构成线，线构成面。如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的直线会不会也是垂直呢？

【生】垂直！

【师】我们借助圆锥定义来思考一下这个问题。我们前面刚学习过圆锥定义，这位同学你来说一下圆锥定义吧。

【生】绕直角三角形的一条直角边旋转一周所形成的几何体，叫做圆锥。

【师】很好！绕直角三角形的一条直角边旋转一周所形成的几何体，叫做圆锥. 这条直角边就是圆锥的高。那么圆锥的高垂直于地面，并且我们发现圆锥的高垂直于底面里所有经过圆心的直线。那么底面里的所有直线都经过圆心么？

【生】不是！

【师】那么对于不经过圆心的直线呢？圆锥的高是否垂直于底面里不经过圆心的直线呢？

【生】垂直！

【师】为什么呢？

【生】因为不经过圆心的直线可以平移到经过圆心。

【师】对！那这样我们就发现了，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面里怎样的直线呢？这里的空格里应该填上什么词语呢？

【生】任意一条，所有的，全部的，每一条，一切的，无数的...... 【师】很好！这些词语都可以填到这个空格里．那么我们为了得到直线和平面垂直的定义，我们需要反过来思考一下，直线垂直于平面里怎样的直线，才能得到线面垂直呢？

【生】任意一条，所有的，全部的，每一条，一切的，无数的...... 【师】我听到有学生说无数条，那也就是说如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线就可以得到这条直线和这个平面垂直，对么？

【生】不对！

【师】我们借助于三角板来演示一下．（三角板倾斜放置）大家看一下这个直角三角板的长直角边垂直于短直角边，现在我把这条短直角边放于黑板面里，那么你能在黑板面里找到多少条直线与短直角边平行呢？

【生】无数条！

【师】对！那么大家看这个时候，虽然长直角边垂直于黑板面里的无数条直线，但是长直角边垂直于黑板面么？

【生】不垂直！

【师】对！所以，这个空格不能填上无数条。那么填上任意一条、全部的、每一条、所有的，都是可以的。由此，我们得到了直线和平面垂直的定义。

多媒体展示直线和平面垂直的定义，然后板书线面垂直的符号语言和图形语言。

【设计意图】根据实例引入线面垂直的概念，然后借助圆锥的定义来研究直线与平面里的直线位置关系，比较直观。

【环节２】创设情境，引入线面垂直的判定定理：

【师】现在我交给大家一个任务，将一个旗杆垂直于地面竖立起来，那你准备怎么解决这个问题呢？

【生】．．．．．．

【师】我们刚刚学习了线面垂直的定义，我们只需保证旗杆和地面的每一条直线都垂直就可以了。可是，这个方案可行么？

【生】不可行！

【师】对呀！“每一条”这是一个无限的概念，不具有可操作性，那么我们可以将无限转换成有限，也就是我们可以思考一下，一条直线至少垂直于平面里的几条直线，就可以得到线面垂直了呢？

【生】两条！

【师】大家课下预习的很好啊！那我们本着研究的精神，我们从一条直线开始研究，也就是说，如果一条直线垂直于平面里的一条直线，那么这条直线和这个平面垂直。可以么？

【生】不可以！

【师】对！不用解释了吧，这是很显然的！那么两条直线呢？

【生】可以！不可以！

【师】好！这里大家有争议了！两条直线到底可不可以，关键要看两条直线的位置关系，如果两条直线平行，那么即便是无数条直线，也不可以，我们刚才用三角板演示过了。无数条平行线可以平移为一条直线！所以重要的是不平行，那也就是相交！

【生】对！

【师】下面我们来动手探究。探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.

(1)折痕AD与桌面垂直吗？

(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面肯定垂直？

【师】我看很多同学都做到了让折痕与桌面垂直，下面我们请一个学生来讲台上给大家展示一下。

【生】我找到了这个三角形纸片底边上的高，因为底边上的高垂直于底边，折叠过后，垂直关系不变，把底边放在课桌上，也就是折痕垂直于桌面的两条相交直线，然后，我们可以观察到折痕是垂直于桌面的，由此可以推断，如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面。

【师】大家说，这位同学说的对不对？

【生】对！

【师】这位同学说的非常好！由此我们就得到了直线和平面垂直的判定定理。如果一条直线垂直于一个平面里的两条相交直线，那么我们就说直线和平面互相垂直。那么大家需要注意，我们这样探究得出线面垂直的判定定理是不严谨的，我们会在以后空间向量的学习中对这个判定定理进行严格的证明。

多媒体展示线面垂直的判定定理，然后请一位同学在黑板上写出判定定理的符号语言形式。

【师】学习了线面垂直的判定定理之后，我们就可以完成让旗杆垂直与地面的任务了，怎么操作呢？

【生】只要在让旗杆垂直于地面上的两条相交直线就行了。

【设计意图】通过提出现实任务，激发学生的求知欲，通过动手折纸，提高学生的兴趣，加深学生的印象。

【环节3】精讲精练。

【例1】如图，已知：a//b,a.求证：b

【师生活动】请一名学生在黑板上写出证明过程，并点评。

让学生体会运用线面垂直定义将线面垂直转化为线线垂直，运用判定定理将线线垂直转化为线面垂直。

【例2】已知：如图

，空间四边形

ABCD 中，AB＝AC，DB＝DC，取

BC 中点

E，连接

AE、DE，求证：BC⊥平面

AED. 【师生活动】请一名学生在黑板上写出证明过程，并点评。

强调等腰三角形“三线合一”在几何证明中的重要性。

【练习】已知：如图

，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，PA⊥平面

ABC.

求证：BC⊥平面

PAC.

【师生活动】请一名学生讲述,老师板书,写出解题思路. 本题看似简单,却体现了线面垂直与线线垂直的相互转化在解题中的灵活应用.

【探究】如图,直四棱柱ABCD-ABCD中,底面四边形ABCD

满足什么条件时,AC⊥BD?

【师】我们一起来看课本上的探究活动，这是一道开放型题目。

开放型题目在高考中很常见，常常作为压轴题出现。那么，我们一般怎么解决开放型题目呢？以这道题为例吧。

【生】把结论当条件，看看能得到什么。

【师】很好。我们先试着把结论当做条件，看看能得到什么。也就是说，可以揣摩一下出题人的意图。那么这道题，把结论当条件，你能得到什么呢？

【生】BD⊥平面ACC’

【师】很好。那么我们反过来再思考，是不是只要得到BD⊥平面ACC’，就可以得到

AC⊥BD? 【生】是！

【师】那再来看题设，我们只要让底面四边形满足什么条件时就可以得到线面垂直，从而得到线线垂直呢？

【生】底面对角线相互垂直！

【师】非常好！但是需要注意，思考问题可以采取执果索因的方法，写证明过程的时候，必须采用顺叙的方式来证明。

【设计意图】选用的例题和练习题都是经过精心挑选的，让学生能够循序渐进的有易到难，层层推进，真正起到巩固本节所学内容的作用。并且在例题的讲解中，重视解题步骤，为学生做好示范。

【环节8】课堂小结

【师】这就是咱们这节课学习的内容。请大家告诉我，今天你学到了什么数学知识？

【生】线面垂直的定义和判定定理！

【师】那你又学到了什么数学思想呢？

【生】转化思想

【师】对！线面垂直和线线垂直的相互转化

【师】今天这节课，大家表现的都很好!看来大家都在课下认真的做了导学案。希望大家将这种学习态度和学习精神坚持下去！

【板书设计】

一．定义

图形语言；符号语言。

二．判定定理

符号语言

三．例题讲解

例1.

例2.

练习