3.1直线的倾斜角与斜率（通用）主要内容及教案内容

3.1.1倾斜角与斜率

一、教材分析

1、教材地位及前后联系

“直线的倾斜角与斜率”是人教A版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，进一步学习圆锥曲线与方程，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

2、教学内容

本节主要讲直线的倾斜角和斜率，共分二课时。这是第一课时，该节主要学习的内容是直线的倾斜角和斜率的概念以及斜率公式。第二课时讲直线平行于垂直的判定。

二、教学目标

（一）知识与技能

1、理解直线的倾斜角定义及范围和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

2、通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索及数学的理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力。

（二）过程与方法

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想方法。

（三）情感态度价值观

学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用。

三、教学重难点

重点：斜率概念、用代数方法刻画直线斜率的过程、过两点的直线斜率的计算公式。

难点：直线斜率与倾斜角间的关系、过两点的直线的斜率公式的建立。

四、授课类型：新授课

五、教学工具：多媒体

六、课时安排：1课时

七、教学过程

（一）知识背景与课程导入

在前面我们学习了立体几何知识，在立体几何中，我们主要依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。今天开始我们将学习解析几何，解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，其实质是用代数的方法研究图形的几何性质。最常用的代数法坐标法，它是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法。

下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，我们先从最简单的几何对象——直线开始，今天我们学习直线的倾斜角和斜率。

（二）新知探究

1、直线的倾斜角

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线

它的位置由哪些条件可以确定呢？在x轴上给一点P,过P作一条直线，与其他同学比较，你们所作的直线位置一样吗？它们的区别在哪里？

设计意图：明确研究对象：探索确定直线位置的几何要素。

在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，数学中我们用一个量来反映这一倾斜程度：倾斜角

直线的倾斜角：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角

叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0°。

问题2:

根据倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0180。

问题3：平面直角坐标系中是否任何一条直线都有一个确定的倾斜角？已知直线上一点及其倾斜角能否确定一条直线？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，

两者缺一不可。

2、直线的斜率：

问题4：在实际生活中有没有表示倾斜程度的量？

我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？

设计意图：从学生的实际出发，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。

坡度（比）升高量前进量

前进

升高如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”。

直线斜率的概念: 一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率（slope）,通常用小写字母k表示。即

ktan。

问题5：（1）当倾斜角α=0，30，45

，120倾斜角α=90呢？

（2）是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？当倾斜角增大时斜率怎样变化？（利用函数图象得到）

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。利用正切ooooo 时，这条直线的斜率分别等于多少？当

函数图象，直观得得到斜率随着倾斜角的变化的规律。

斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是90的直线没有0斜率.斜率常用k来表示，ktan（90且0180）。

0当为锐角时，k 0，越大，k ；

当为钝角时，k 0，越大，k ；

当为90°时，k 。

3、直线上两点坐标计算斜率公式：

问题6：如图已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

P1（x1，y1）

y P2（x2，y2）

P1（x1，y1）

y P2（x2，y2）



X o （1）

y2y1（x1≠x2）

x2x1o （2）

X 两点间斜率的计算公式k问题7：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）运用上述公式计算直线P1P2的斜率时，与P1、P2的顺序有关吗？(几何画板展示) yP1(x1,y1)P2(x2,y2)yP1(x1,y1)P2(x2,y2)oxox

问题8：（1）当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

（2）当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

y y o x

o x

设计意图：通过用几何画板直观演示，两点式斜率公式ky2y1（x1≠x2）与P1，P2两点x2x1的顺序无关，检验当平行及垂直于x轴时的情形更进一步完善公式。

斜率公式：

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率k=（三）合作探究

1、已知A(3,2),B4,1,C0,1，求直线AB,BC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

y2-y1

（x1≠x2）。

x2-x14)的直线的倾斜角为450，求m的值。

2、过点P（-2，m）和Q(m,

（四）课堂小结

1、直线的倾斜角定义: 。

（1）特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定倾斜角＝ ；

（2）倾斜角的取值范围________ 。

2、直线的斜率的定义： 。

（垂直于x轴的直线斜率 ）

3、已知A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），则AB的斜率为 。

4、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解

K=0时，倾斜角 ；

k>0时，倾斜角 ；

k<0时，倾斜角 ．

（五）布置作业

课本p89页习题3.1A组1,3,4 2补充: 1、已知直线l经过A（2，1），B（1，m）（m∈R）两点，求直线l的倾斜角的取值范围。

2、已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围。

（六）课后反思