习题4.2名师教学设计

数学必修2

高中数学必修二

人教A版

直线与圆的位置关系

----切线

梁娟

甘肃省武威第一中学

数学必修2 课题：直线与圆的位置关系----切线

教学目标：

1、知识与能力目标

A．知道直线和圆相交，相切，相离的定义并能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系；也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。

B.会利用圆心到直线的距离等于圆的半径之间的数量关系来求解直线和圆相切时的切线方程；也能根据联立方程组的解的个数来求解直线与圆相切的切线方程；并可以用待定系数法求解切线方程。

C．掌握直线和圆相切的应用，能解决切线长以及最值问题。

2、过程与方法目标

先让学生复习圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系与根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。然后，通过点与圆的位置关系来求解点在圆上和点在圆外时的切线方程。最后，利用直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。

3、情感态度与价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

数学必修2 教学重点与难点：

教学重点：点与圆的位置关系来求解过该点的切线方程

教学难点：通过求解切线方程过程的反思，进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，有形到数；有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。

教学准备

制作多媒体课件和几何画板的动态演示，提高学生数形结合的解题能力。

教学过程：

一、复习

2、判定直线

与圆的位置关系的方法有_两___种：

（1）根据定义，由__直线与圆的公共点__的个数来判断；----代数法

（2）根据性质，圆心到直线的距离d与半径r_的关系来判断。---几何法

在实际应用中，常采用第二种办法来判定

二、新课讲解

例1、求过点A(3，1

)与圆x2+y2=4相切的切线方程。3xy40

引导学生发现当点在圆上时，切线方程可以由圆的方程x2+y2=r2变换而出，从而给出推理发现：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）

的切线方程

分析：只要求出切线的斜率即可。

数学必修2 如右图所示，切线的斜率为k，半径OM 所在的斜率为KOM，

1K因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是KOMKOM

y0x0x0,K,经过点M的切线方程是yy0xx0x0y0y02222整理得x0xy0yx0y0,因为点Mx0,y0在圆上,所以x0y0r2所以切线方程是x0xy0yr2例2、求过点A( 0,1)且与圆（x-1）2+（y+1）2=5相切的直线方程

问题1：由上一个例题的结论有没有可以仿写的地方？

问题2：能不能总结一下它们的共同点？

小结：

圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 例

3：求经过点(1，－7)且与圆

x2＋y2＝25 相切的切线方程．

思维突破：先判断点与圆的位置关系，求过圆外一点的圆的切线方程，有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法．

数学必修2 解法一：设切线的斜率为

k，由点斜式有

y＋7＝k(x－1)，

即

y＝k(x－1)－7，

将方程代入圆方程得

x2＋[k(x－1)－7]2＝25，

整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0. 故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0，

解得K43或K故切线方程为

4x－3y－25＝0 或

3x＋4y＋25＝0. 34解法二：设所求切线斜率为

k，则所求直线方程为

y＋7＝

k(x－1)，整理成一般式为

kx－y－k－7＝0，

|0－0－k－7|2所以＝5，化简为12k－7k－12＝0，

21＋k43所以k＝3或k＝－4. 所以切线方程为

4x－3y－25＝0 或

3x＋4y＋25＝0.

解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为

x0x＋y0y＝

25，将坐标(1，－7)代入后得

x0－7y0＝25，

x0－7y0＝25由22x0＋y0＝25

x0＝4，解得y0＝－3

x0＝－3或y0＝－4

.

故所求切线方程为

4x－3y－25＝0 或

3x＋4y＋25＝0. 小结：

①过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线

数学必修2 的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.这两种常用方法中，其中以几何法“d=r”比较好(简便). ②过圆内一点不能作圆的切线. ③求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切线的斜率,用判别式法;二是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.三是设切点,利用①②中的切线公式法; （注意：在用这三种方法时一定要注意切线斜率不存在的情形,若求出只有一个斜率，应找回另一条．）

练习1：求过点（1,2）且与圆x2+y2=25相切的切线与坐标轴围成的三角形面积。（如何求出直线的横纵截距）

练习2：求圆心为（1,1）且与直线x-y=4相切的圆的方程. 练习3：求与直线2x+y+1=0平行（垂直）且与圆x2+y2=5相切的直线方程。

（平行垂直直线系的设法）

练习4：求过点A(3,-3)且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线方程。

（注意数形结合将斜率不存在时的切线方程从图像中找出来）

（几何画板演示）

分析：数形结合求切线长是要借助勾股定理来求切线长，最终将切切线长最小时，也是圆心与直线上的点的距离最小时，即就是圆心到直线的距离最小的问题。

师生活动：学生思考，先判断直线与圆的位置关系，在分析直线上的任意一点向圆引切线的图像的做法，在图像中如何求切线长，引导学生找到圆心与

数学必修2 直线上的点的距离、半径与切线长之间的勾股定理，最后分析出切线长的最小值可转嫁成为通过求直线上的点与圆心的最小距离来求解。然后放开手让学生自己独立求解

例4：求以（1,0）为圆心且与直线mx-y-2m+1=0相切的所有圆中，面积最大的圆的方程。（几何画板演示）

问题1：直线方程有什么特征？

问题2：这过定点的动直线中，那条直线与圆心的距离最大，即半径最大。

师生活动：数形结合在平面直角坐标系找到直线中的定点（2,1）与圆心坐标（1,0），然后结合几何画板演示过定点的直线在旋转变化时，圆的半径的变化，直接导致圆的面积的变化，引导学生观察出当定点与圆心连线时圆的面积最大的事实，然后让学生自己求解完成该题目。

2例5.若直线y=x+k与曲线

x1y

恰有一个公共点,则k的取值范围是

这个直线有什么特征？（几何画板演示）

问题1：此曲线的表达式如何变化，它的图像有什么特征？

问题2：数形结合解题

师生活动：先将曲线方程平方，引导出单位圆的图像，再让学生通过根号的性质将所需半圆的部分从单位圆中取出，再找到直线是平行直线系的性质，将直线上下平行移动与半圆有一个交点时的纵截距的变化范围找出来，从而找到K的取值范围，特别注意直线与圆相切时的K的分析求解。

课堂小结：

求过定点的圆的切线方程：

求过点P的圆的切线方程问题需注意：

数学必修2

2、在求切线时，要注意讨论切线斜率不存在的情况

3、在求切线长时，注意数形结合和勾股定理的应用

4、求解与圆的相关题目时注意数形结合的应用

课后教学目标检测

1.设m0，则圆x2y2m23m2与直线x3y0的位置关系________ 2.过点P2,0且与圆x2y26y50相切的直线方程是___________ 3.求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长。

4.求以N1,3为圆心，并且与直线3x4y70相切的圆的方程。

5.求圆心在直线3xy0上，与x轴相切，且被直线xy0截得的弦长为27的圆的方程。