习题4.1教案教学设计

课题：圆的一般方程

●三维目标

1．知识与技能

(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．

(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径．

(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．

(4)能用坐标法求动点的轨迹方程．

2．过程与方法

(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．

(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．

3．情感、态度与价值观

(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．

(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．

●重点难点

重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．

难点：用坐标法求动点的轨迹方程．

●教学过程

一、知识回顾

圆的一般方程

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)表示的图形

(1)变形：D222x＋E2D＋E－4F2＋y＋2＝4. (2)图形：①当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为D－2，－圆的一般方程；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程(*)表示一个点－DE2，－2；

E，半径为122D2＋E2－4F，方程(*)称为

③当D2＋E2－4F<0时，方程(*)不表示任何图形. 二、例题讲解

类型一

圆的一般方程的概念

例1

下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径．

(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；

(4)2x2＋2y2－5x＝0. 【思路探究】

分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．

【自主解答】

(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，

∴它不能表示圆．

(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，

∴它不能表示圆．

(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，

∴它不能表示圆．

52252(4)方程2x＋2y－5x＝0化为x－4＋y＝4，

2255∴它表示以4，0为圆心，4为半径长的圆．



【规律方法】

二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0. 变式训练：

如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________．

类型二

求圆的一般方程

例2

求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

过点O、M、N【思路探究】

设圆的一般式方程―――――――→

公式法求圆的一般式方程――――→求圆心坐标、半径

【自主解答】

设圆的一般式方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意可知点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)满足圆的方程，即

F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，

D＝－8，解得E＝6，F＝0.

所以，所求圆的一般方程是

x2＋y2－8x＋6y＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝5. 【规律方法】

1．本题是待定系数法求圆的方程，由于已知条件是圆上三点，不易求出圆心、半径，故选用一般方程，先设出圆的一般方程，再把三点坐标代入得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解得结果．

2．用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F. 变式训练

已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．

类型三

与圆有关的轨迹方程

例3

已知点A(4,0)，P是圆x2＋y2＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．

【思路探究】

本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M的横、纵坐标之间的关系．

【自主解答】

设M(x，y)，由于M是AP的中点，

∴P点的坐标是(2x－4,2y)．

∵P是圆x2＋y2＝1上的点，

∴(2x－4)2＋(2y)2＝1. 1即动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4. 【规律方法】

1．本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．

2．求轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．

(2)列出点M满足条件的集合．

(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简．

(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．

变式训练

已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

【解】

(1)设动点M的坐标为(x，y)，

∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝12|MB|，

∴(x－2)2＋y2＝14[(x－8)2＋y2]．

化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. (2)设点N的坐标为(x，y)，

∵A(2,0)，N为线段AM的中点，

∴点M的坐标为(2x－2,2y)．

又点M在圆x2＋y2＝16上，

∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4. ∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆. 课堂小结

1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F>0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．

2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．