习题3.1PPT及专用教学设计内容

第2课时

两条直线平行与垂直的判定

1.掌握直线与直线的位置关系.

2.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直;能根据两条直线平行或垂直的关系,确定斜率的相互关系.

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷,过山车的两条轨道是互相平行的,而轨道则由一根根巨大的垂直于地面的钢筋支撑.

问题1:通过对过山车的认识,观察这里面包含着直线的

和

的两种位置关系.

问题2:特殊情况下的两直线平行与垂直

当两条直线中有一条直线的斜率不存在时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角

,两直线位置关系是

.

(2)当另一条直线的斜率为0时,斜率为0的直线的倾斜角为

,斜率不存在的直线的倾斜角为

,两直线的位置关系是

.

问题3:两条直线都有斜率,且不重合时两直线的平行

如图,设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即

(注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立).

问题4:两条直线都有斜率,且不等于0时两直线的垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2.如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

.

直线平行的判定

判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行.

(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).

直线垂直的判定

判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直.

(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1); (2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3); (3)l1经过点A(3,4),B(3,100),l2经过点M(-10,40),N(10,40).

两直线平行与垂直的综合应用

已知四边形ABCD的顶点为A(2,2+2

),B(-2,2),C(0,2-2

),D(4,2),求证:四边形ABCD为矩形.

△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:平行

垂直

问题2:(1)相等

平行

(2)0°

90°

垂直

问题3: l1∥l2⇔k1=k2

问题4:l1⊥l2⇔k1=-⇔k1k2=-1

重点难点探究

探究一:【解析】(1)k1=

-

- -

-

=1,k2==

,

-

- -

-

∵k1≠k2,∴l1与l2不平行.

(2)k1=1,k2=

-

=1.

-

∵k1=k2,∴l1∥l2或l1与l2重合.

(3)k1=

-

-

=-1,k2==-1,

-

-

- ∵k1=k2,∴l1∥l2.

(4)∵l1与l2都与x轴垂直,∴l1∥l2.

【小结】k1=k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在的直线,对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解.

探究二:【解析】(1)k1=

-

-

-

-

=2,k2==,

-

-

-

-

∵k1k2=1,∴l1与l2不垂直.

(2)k1=-10,k2=

-

= , - ∵k1k2=-1,∴l1⊥l2.

(3)l1的倾斜角为90°,即l1⊥x轴, k2= - =0,则l2∥x -

- 轴,∴l1⊥l2.

【小结】两条斜率存在的直线若垂直,则必有k1k2=-1.若一直线无斜率,另一直线和它垂直,则其斜率一定为0.

探究三:【解析】(法一)根据题意,可得kAB=∵kAB=kCD,kBC=kDA,∴AB∥CD,BC∥DA.

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵kAB·kBC=-1,即AB⊥BC.

=,kBC==-

,kCD==,kDA==-

.

-

-

∴四边形ABCD为矩形.

(法二)kAB=

=

,kBC==-

,

-

kCD=

=,kDA==-

.

-

由kAB·kBC=-1,kDA·kAB=-1,kCD·kBC=-1,kCD·kDA=-1,知AB⊥BC,AB⊥DA,CD⊥BC,CD⊥DA.

∴四边形ABCD为矩形.

【小结】1.对垂直与平行关系的理解应注意:当两直线的斜率相等时,并不一定两直线平行;还要注意判断一下两直线是否重合.

2.利用这两个关系判断三角形或四边形形状时,先根据各点坐标求出各边斜率,再根据斜率判断各边所在直线的位置关系,进而得知形状.在求斜率、点的坐标等问题时经常用到这两类关系.

全新视角拓展

【解析】若角A为直角,则AC⊥AB,所以kAC·kAB=-1.

即 ·=-1,得

-

-

m=-7; 若角B为直角,则AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1.

即

-

·=-1,得

-

-

m=3; 若角C为直角,则AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1.

即

-

·=-1,得

-

-

m=±2.

综上所述,m的值为-7、3或±2.

思维导图构建

k1≠k2

k1·k2=-1