3.3.4 两条平行直线间的距离教学内容概述

3．3 直线的交点点坐标与距离公式

【课题】：3.3.4 两条平行直线间的距离 【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了直线的方程以及点到直线的距离，学生具备了两条平行直线间的距离所必需的有关知识和方法。本班是我校的特色班，整体的数学基础较好，有一定的数学思维和运算能力，但也有一部分学生的数学基础不扎实，探究能力不强。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解将两平行线间的距离转化为点到直线的距离的思路；会求两平行直线间的距离；

能运用求两平行线间的距离的方法来解决一些数学问题. （2）过程与方法：在问题探究的过程中，让学生体会用代数的表达式来研究几何的思想方法，加深对距离的理解，培养学生分析问题解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：通过精心设计适宜的教学情境，让学生在师生和谐、互动的氛围中，轻松地、主动地掌握基本知识和基本技能；在问题探究的过程中，培养学生积极进行数学交流、勇于探索的科学精神。

【教学重点】：求两平行线间的距离的方法及其应用

【教学难点】：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离时，如何选取恰当的点，以方便计算. 【课前准备】：Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

一、复习引入

教学活动

练习1：

1．已知点P（1，1）到直线y=2x+b的距离为1，则b= . 222．点P（x,y）在直线x+y-3=0上，则(x-1)+(y+2)的最小值为 . 3．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为 . （答案： 1.51或51；2.22；3. x+2y-5=0 ）

在学生练习、教师简单小结后，直接给出本节课的课题—两条平行直线间的距离

二、问题探究

问题

如何求平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离(A+B0)？

学生活动：自主探究或小组内探讨. 教师引导：

1．两条平行线间的距离指的是什么？

2．能否将两平行线间的距离转化为点到直线的距离？

22设计意图

为探究新知识做准备. 方法一 由于A+B0，不妨设A0，则A（22C1，0）是直线Ax+By+C1=0A与X轴的交点，从而点A到直线Ax+By+C2=0的距离就是所求平行线间的距离，即

A(dC1)B0C2AAB22C1C2AB22

鼓励学生充分利用自己已有知识进行大胆探索

. 方法二

设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离就是所求平行线间的距离，即

dAx0By0C1王新敞AB22

又

Ax0By0C20,即Ax0By0C2，∴d＝三、方法运用

C1C2AB22

巩固知识，培养技能. 练习2：

1．平行线3x+4y=0与3x+4y=10间的距离为 . 2．两直线x-2y+3=0与x-2y-2=0间的距离为 . 3．已知点A（1，-2）和B（-1，3），点P是直线5x+2y+3=0上任意一点，则△PAB的面积为 . 4．若两直线x2ay10和(3a1)xay10平行，则它们之间的距离为 . 1。当61a=0时，两直线方程分别为x-1=0和x+1=0，所求距离为2；当a=时，6（答案：1.2；2.5；3.229；4。由两直线平行求得a=0或两直线方程分别为3x+y-3=0和3x+y+3=0，所求距离为310。本题容易5漏掉a=0这一情况，要提醒学生注意）

方法归纳：求两平行线间的距离有两类方法

（1）

在一条直线上任取一点A，转化为求点A到另一条直线的距离。取点时，一般取直线与坐标轴的交点，也可取坐标为整数的点。

22（2）

运用平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0 (A+B0) 间的距离公式d＝相同。

四、拓展提高

1．两平行线x+2y=0与ax-4y=2间的距离为 .

2．与直线2x+y-5=0平行且距离等于5的直线方程为 .

培养学生运用知识3．已知直线l到直线直线2x-y+2=0和2x-y+4=0的距离相等，则直线l和方法去解决问题的方程为

. 的能力

4．两平行线l1、l2分别过点A（0，1）和B（5，0），若直线l1、l2的距离等于5，求这两条直线的方程. 略解：

练习3. C1C2AB22，此时必须使两条直线方程中x、y的系数1．由两直线平行可求得a=-2，于是可求两平行线间的距离为5.

52。设所求直线方程为2x+y+C=0，则d故所求直线方程为2x+y=0或2x+y-10=0.

C555，解得C=0或-10。

3．设所求直线方程为2x-y+C=0，则C25C45，解得C=3，故所求直线方程为2x-y+3=0. 4．设平行线的斜率为k，则它们的方程分别为kxy10、kxy5k0。因为点A在直线l1上，所以点A到直线l2的距离也等于5，即k015kk215，解得k12,故所求直线方程为12x-5y+5=0、5

帮助学生巩固所学内容，形成知识网络

12x-5y-60=0. 五、小结

1．

将两平行线间的距离转化为点到直线的距离，体现了数学中的化归思想；

2．

将求两平行线间的距离转化为求点到直线的距离时，要恰当取点，以方便计算，如取直线与坐标轴的交点或坐标为整数的点；既可以在第一条直线上取点，也可以在第二条直线上取点；

3．

利用公式d＝C1C2AB22，可以给我们解题带来很大方便;此时必须使两条直线方程中x、y的系数相同，否则就会出现错误. 六、作业

课本P110习题3.3 ：A组第10题，B组第4，9题

巩固所学知识

练习与测试

1．两直线x+1=0和x-2=0之间的距离为 .

2．两直线3x-4y+1=0和3x-4y+6=0之间的距离为 . 3.已知直线L到直线直线2x+y+2=0和2x+y-4=0的距离相等，则直线L的方程为

. 4.已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则这两条直线间的距离为 . 5．若两直线ax5y0和2x-3y=b平行，且它们之间的距离为13，则a= ,b= . 6．与直线12x-5y-5=0平行且距离等于1的直线方程为 .

7．若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动，则AB的中点P到原点距离的最小值为

. 8．已知正方形的中心为直线2x+y+2=0 和x-y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-2=0，求其它三边所在直线的方程。

9.两条互相平行的直线分别过A（6，2）、B（-3，-1），并且各自着A、B旋转时，两条平行线间的距离为d.

（Ⅰ）求d的变化范围；

（Ⅱ）求当d取得最大值时，两条直线的方程. 10.已知点A（2，-3）和B（4，-1），若直线L与A，B两点的距离都是2，求直线L的方程.

答案或解析：

1.

3;

2.1； 3. 2x+y-1=0; 4. 由这两条直线平行可求得m=-8, 这两条直线间的距离就是点A到直线2x+y-1=0的距离，故秘求距离为135 ; 510，然后再由两直线的距离公式求得b=13或-13；

3 5.先由两直线平行求得a 6. 设所求直线方程为12x-5y+c=0，则12x-5y+8=0或12x-5y-18=0; |c5|12(5)221，解得c=8或c=-18,故所求直线方程为7.由题意可知，动点P在与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0平行且距离相等的直线上，可求得此直线方程为x+y-6=0，于是AB的中点P到原点距离的最小值，就是原点到直线x+y-6=0的距离，即所求最小值为32；

8．设与直线x+3y-2=0平行的一边所在直线方程为x+3y+c=0，则|10c|10|102|10，解得c=4；设与直线x+3y-2=0垂直的一边所在直线方程为3x-y+b=0 ，则|30b|10|102|10,解得b=0或c=6, 故其它三边所在直线的方程分别为x+3y+4=0，3x-y=0 ，3x-y+6=0；

9．d(0,310]；当d取得最大值时，这两条平行线垂直于AB，于是可求这两条平行线方程分别为3x+y+10=0、3x+y-20=0.

10.

当直线L与AB平行时，直线L的方程为x-y-3=0，x-y-7=0；当直线L与AB相交时，直线L的方程为x+y-1=0。