习题3.1教学内容概述

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

教材分析：本节是人教版必修二第三章第一节课时内容，是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要的几何要素。学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线相关性质，而本节直线的倾斜角和斜率，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点;另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。这节知识是之后学习直线与直线、直线与圆，直线与圆锥曲线位置关系的基础，也是后续学习微积分的基础。因此，本节课的有着开启全章，奠定基调，渗透方法，承上启下的作用。

学情分析：

1.

学生在初中的时候就学习过直线的方程，对解析几何有了初步的了解; 2.

能够将平面中的几何点通过坐标代数建立联系

3.

学生能够在平面直角坐标系中作出直线图象，并通过图象能够研究简单的函数性质; 4.

大多学生不能将代数运算和几何规律建立联系，从而很难用数形结合的思想方法解决相关直线问题。

教学目标：

1.知识与技能：使学生正确理解倾斜角与斜率概念，了解二者之间的关系；

2.过程与方法：通过对倾斜角与斜率的

探讨，培养学生分类讨论的思想，体验“坐标法”感受数形结合思想；

3.在探索倾斜角与斜率关系的过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严禁的治学态度。

教学重难：直线倾斜角与斜率的概念、过两点的直线斜率公式；

教学难点：倾斜角的概念形成，概念理解；

教学用具：多媒体，投影仪。

教学方法：观察发现、启发引导、探究与试验相结合的教学方法。启发引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，使学生优化思维过程；在此基础上，通过学生交流与合作，从而扩展他们自已的数学知识和使用数学知识及数学工具的能力，实现自觉地、主动地、积极地学习。

教学过程

一、倾斜角概念

问题1：过平面中两点可以作几条直线？

学生回答：一条。

问题2：过平面中一点可以作几条直线？

学生回到：无数条。

问题3：如果过一点想要确定一条直线，那么我们需要附加什么条件？

学生回答：只要确定夹角。

问题4：确定角1、2、3、4，哪个夹角呢？

练习1：PPT标出直线与x轴的四个夹角。

设计意图：让学生自己去发现倾斜角，并形成初步意识。

倾斜角的定义：当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

例1：

设计意图：让学生明确倾斜角的概念

例2：判断下列说法是否正确

（1）所有支线都有唯一确定的倾斜角与它对应；

（2）所有倾斜角都有唯一确定的直线与它对应。

设计意图：让学生明确倾斜角的概念

问题5：从图上来观察，直线l的倾斜角应该在那个范围呢？（给出三条直线，倾斜角分别为锐角、钝角、直角）

学生回答：（0°.180°）

问题6：那再看这种情况呢？（给出与x轴平行和重合的直线）

总结：规定，当直线l与x轴平行或者重合时，倾斜角为0°。因此直线l的倾斜角α的取值范围为[0°,180°）。

因此除了两点可以确定一条直线外，我们用一点加上倾斜角也可以确定直线。

二、斜率概念

通过探究，我们发现每条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线倾斜角相同，倾斜程度不同的直线倾斜角不同。那么我们该用什么来刻画倾斜程度这一概念呢。

生活中有没有用来表示倾斜度的量。

坡度，即反映坡面的倾斜程度。坡度等于升高量比上前进量，引导学生发现这是三角函数中的正切。

如何用倾斜角表示坡度？

学生会发现坡度就是坡面所在的直线的倾斜角的正切值。

从而自然引出直线的斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率一般用小写字母k表示。k=tan。

学生活动：探讨斜率的变化规律（5分钟）

画出k=tanx的图象，

设计意图：明确概念，数形结合，建立联系，引导学生总结结论。

结论1：倾斜角为锐角，斜率大于0；

倾斜角为钝角，斜率小于0；

倾斜角为0°，斜率为0；

倾斜角为90°，斜率不存在；

结论2：斜率k的取值范围为全体实数R。

例3.画出过原点，且斜率分别为1,2，3，-1，-2,0的直线

设计意图：熟悉概念，运用图形，强化运算。

深入研究：探究两点坐标与斜率的关系

两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，那么你能用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示该直线的斜率吗？

学生活动：给出两点坐标，让学生探讨该如何利用两点坐标表示直线斜率（3分钟）

设计意图：让学生自己探索发现，两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系，由于学生初学，可能只考虑到一种情况，老师在后面补充，最后得到ky1y2y2y1x1x2x2x1

思考：那么当直线重合或者平行x轴时，上式还成立么？直线垂直于x轴时，公式还成立吗。

问题：

综上得到斜率公式ky1y2y2y1

x1x2x2x1例4：已知直线l的两点A与B坐标，求这条直线l的斜率，并判断这条直线的倾斜角是钝角还是锐角。

（1）A（1,2），B（2,3） （2）A（1,2），B（3,1）

（3）A（1,1），B（3,1） （4）A（1，1），B（1,3）

例5：判断下列说法是否正确。

（1）任意一条直线都有倾斜角；

（2）任意一条直线都有斜率；

（3）有倾斜角的直线都有斜率；

（4）有斜率的直线都有倾斜角。

例6. （1）当斜率k[3,3]时，求倾斜角α的取值范围；

3（2）当斜率k[1,1]时，求倾斜角α的取值范围。

第四个环节：小节归纳

1.直线倾斜角和斜率的概念

2.直线的斜率公式

扩展运用：如何利用斜率判断两直线平行或垂直？

为了使学生建构本节课的知识体系，我会先让学生逐个谈一谈本节课的重点内容和难点内容，最后我再总结。

设计意图：引导学生养成学习-总结-再学习的良好习惯，发挥自我评价作用，同时可培养学生的语言表达能力。扩展运用的这个问题，可以给他们造成认知冲突，同时为下节课两条直线平行与垂直的判定做好铺垫。

板书设计

§3.1.1直线的倾斜角与斜率

一

直线的倾斜角

三

斜率公式

001800二

直线的斜率

ktan(900)0°＜



＜90°

k >0 = 90°

k不存在

90°＜

ª

＜180°

k<0 = k=0

ky2y1x(x1x2)2x1k

四

反馈运用