习题1.3公开课教案

专题

多面体的外接球问题

一、考点分析：

有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。

二、教学目标

1、了解多面体与其外接球的关系

2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。

三、教学重点、难点

不同类型的多面体与其外接球半径的求法

四、教学过程

（一）球的性质

性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；

用一个平面去截球面，

截线是圆。

大圆--截面过球心，半径等于球半径；

小圆--截面不过球心

性质2:

球心和截面圆心的连线垂直于截面．

A性质3:

球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r下面的关系:r（二）球体的体积与表面积：

R2d2

42、S球面4R2

1、V球R33

（三）球与多面体的接、切

1.外接球球心到各顶点的距离相等(R)

2. 内切球球心到各面的距离相等(r) 五、经典模型：

(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）

例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是

B1

A1例2：直三棱柱ABCA1B1C1的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于（ ）

C1B

(二)对棱相等模型

AC题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD），求外接球问题第一步：画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线的对棱；

第

1 页

共

4 页

第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程，a2b2x222x2y2z222222Rbcy2Rabc2a2c2z2x2y2z28

例3：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（ ）

（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）

解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：

ADCB2R2a2b2c2

abcR2222例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

3

，其外接球的表面积是（

）

（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积

.

(四)

垂面模型

题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（PA平面ABC）

步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，以A为小圆直径的

一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O

第

2 页

共

4 页

第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，计算出小圆O1的半径O1Dr(r利用正弦定理计算可得)

第三步：利用勾股定理即可：R2r2OO12

例5：三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形，SA=23，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）

S

ABC题型二：三棱锥PABC的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先计算出小圆O1的半径，AO1r,再算出棱锥的高PO1;第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2hRr2,解出R

2S方法二：2Raa为棱长，为侧棱与底面所成角

sinABC例6：正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于（ ）(五)折叠模型

题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠

第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，

找出BCD和A'BD的外心H1和H2第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC;第三步：解OEH1，算出OH1，在RTOCH1中，勾股定理即可：OH12+CH12=R2

例7：棱形ABCD的边长为2，且BAD60,将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A'BD平面BCD,则三棱锥A'-BCD的外接球的半径为（ ）

BCA

D变式：“平面A'BD平面BCD”改为“平面A'BD与平面BCD所成角为120”则三棱锥 A'-BCD的外接球的半径为（ ）

第

3 页

共

4 页

六、课堂小结

1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？

（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；

（2）再构造直角三角形，勾股定理求解

2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？

方法：直接补成长方体，求其体对角线；

3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？

方法：直接补成长方体，求其体对角线；

4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？

第一步：找底面多边形外接圆的圆心O1，计算出小圆O1的半径O1Dr(r利用正弦定理计算可得);第二步：过O作OO111底面，O为球心且O1O=2h(h为椎体的高)

第三步：利用勾股定理即可：

5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？

1）找底面多边形外接圆的圆心O（顶点在底面的投影），计算出小圆1O1的半径O1Dr(r利用正弦定理计算可得);2）在高线上取一点作为球心O；（3）利用勾股定理求出半径即可

6、折叠问题（对称性）

1）找两底面多边形外接圆的圆心O1、O2，计算出小圆的半径r(r利用正弦定理计算可得);2）在过小圆圆心O1,O2作两面的垂线，两高线交点为球心O；P

3）利用勾股定理求出半径即可七、课后作业

AD1、正四棱锥SABCD的底面边长和棱长都未2，点S,A,B,C,D都在同一个球面上，则该球的体积是（ ）

BC2、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC= 3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60

，则该三棱锥外接球的体积为(

八、教学反思

第

4 页

共

4 页

) （（（（（