复习参考题名师教学设计1

《高三复习课：圆锥曲线的离心率》教学设计

东圃中学

彭红亮

一．教学内容解析

1．教材内容及地位

本节课在人民教育出版社A版·普通高中课程实验教科书·数学《选修2-1》第一章《圆锥曲线与方程》的基础上，将椭圆和双曲线的离心率问题结合起来作为本节课的复习内容。

圆锥曲线的离心率是刻画圆锥曲线性质的重要参数，是高考客观题的考查热点。根据《高中数学新课程标准》和《高中数学考试大纲》，以及对历年高考真题的研究发现：本部分内容重点考查离心率及其范围的求解，常常结合圆锥曲线的定义、几何图形的特征等一起考查，综合性强，对学生的思维能力和运算能力要求高。

求离心率及其取值范围的问题归根结底是寻求a、b、c或其中两个变量之间的数量关系，并通过等式变形或方程思想得到离心率的表达式，最后求出离心率的值或取值范围。

2．教学重难点

高中数学新课程标准和2018年高中数学考试大纲都指出：掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；能用解析法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题；通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，考查的主要角度有两种：一种是求解圆锥曲线的离心率；一种利用离心率考查参数的范围。因此，本节课的重难点是：

（1）教学重点：求圆锥曲线离心率的值及取值范围的常用方法——解析法和几何法；

（2）教学难点：如何根据题意，结合圆锥曲线的定义和几何图形的特征构建包含a、b、c的等量关系或不等关系，从而求离心率的值或取值范围

二．学生学情分析

学生在前期已经复习了该部分内容，掌握了一些求圆锥曲线离心率及取值范围的常规方法，但是在近几次练习中发现学生的得分不理想。经过调查得知存在的主要问题如下：①学生的平面几何掌握得不扎实，找不到较为复杂的图形中的几何关系，也就是说需要加强数形结合思想的培养；②不善于提炼题目中的数量关系，并用方程、不等式、函数等工具求解，也就是说转化思想、方程思想、数形结合思想等有待提高。因此，在冲刺阶段本人设计了该专题进行提升突破。

三.教学目标设置

1．能有意识地应用数形结合思想，根据题意、结合圆锥曲线的定义或几何图形的特征构建关于a、b、c

或其中两个量之间的等量关系或不等关系；

2．能应用方程思想和转化思想，并结合a、b、c三者的关系，将所列的等式或不等式进行有目的的变形、化简得到c，进而计算得解；

a3．在基于高阶思维问题链进行探究的过程中，养成严谨善究的学习习惯，锻炼探究、分析的学习能力，培养学生的应用能力、分析能力、评价能力与创造能力（见附录5）。

具体解析：

美国当代数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。美国心理学家布鲁纳说：探索是数学1

的生命线。因此设计了3个基于高阶思维的系列问题做为探究线索，具体的设计意图及预期的能力培养目标如下：

问题1 练习1 掌握解析法

尝试解析法和几何法，对比两个方法的优劣，引出几何法

设计意图

预期达成的能力目标

培养应用能力、分析能力

培养应用能力、分析能力、评价能力

培养应用能力、分析能力

培养应用能力、分析能力、评价能力、创造能力

问题2及变式1 掌握几何法

问题3及变式2 掌握求离心率取值范围的常用方法

四．教学策略分析

采用学导式教学法组织教学。课堂上，充分发挥学生的自主性，让他们以这3个问题及其对应的练习和变式做为探究任务，让每个学生都学有所得。在“实践一反思一提炼一再实践”的过程中让学生学会反思，学会提炼，学会重新调整自己的再一次实践行为，实现生命化成长。师生互动，小老师教学，形成生态课堂。

教学流程

环节一：课题引入

展示课程标准、考纲和高考真题，分析学情，引出课题

环节二：探究提炼

基于高阶思维问题链进行探究，提炼方法，掌握常用方法

问题1：掌握解析法

教学目标

练习1：尝试解析法和几何法，对比两个方法

的优劣，引出几何法

问题2及变式1：掌握几何法

问题3及变式2：掌握求离心率取值范围的常用方法

技能小结

技能小结

技能小结

技能小结

环节三：课堂小结

2

五．教学过程

环节一：课题引入

本环节的设计意图：展示课程标准、考纲和高考真题，分析学情，引出课题

学习任务

观看ppt 阅读附录资料

教学活动

1.用ppt展示《2018年高考大纲》对圆锥曲线部分的要求，特别是与离心率有关的要求；

2.用ppt展示近五年全国卷关于解析几何的命题趋势及近三年关于离心率的真题；

3.分析学生在最近的考试和练习中所出现的问题 设计意图

展示课标和考纲让学生明确高考要求，让学生明确自己的学习目标；

展示命题趋势和高考真题，让学生了解高考题型及所要考查的知识和方法；

分析学情让学生反思自己的不足，带着问题开始学习

环节二：探究提炼

本环节的设计意图：让学生基于问题链进行学习探究，提炼并掌握解析法和几何法来解决求离心率的值和取值范围问题，并能根据具体情况选择合适的方法。培养应用能力、分析能力、评价能力和创造能力。

学习任务

导入：

师：请问离心率e等于什么？（识记）

答：e教学活动

师生互动

设计意图

让学生明确：求离心率就是求c（板书）

ac，为此需a师：要想求离心率，就是要得到a、c

之间的等量关系。当然有时候还要借助b，通过有目的的变形、计算才能得到c

a要先得到a、b、c

或其中两个量之间的等量关系，确定计算模式，训练识记能力

3

22xy

问题1：已知直线l过双曲线Γ：2—21（a

ab

＞0，b＞0）的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，学生独立完成问题1

若l在y轴上的截距为6a，则双曲线的离心率为教师巡堂，根据学生完成情况进行个别辅导

（

）

A．3

B．2

C．6

D．23

师生互动得出结论

（学生一边做，教师一边引导）

师：你能找到条件中的等量关系吗？（分析）

能用a、b、c

或其中两个量来表示这个等量关

系吗？

（分析）

（请学生展示解题过程，分析思路，简述变形、计

算方法）

师：请小结你的解题步骤

（分析）

师生一起小结解析法（通小结：解析法（通法）求离心率的步骤

法）求离心率的思路

①根据条件，寻找等量关系（曲线方程、坐标等）

②用a、b、c表示该等量关系

③变形求离心率的值

练习1：（2016全国Ⅱ 11）已知F1、F2是双曲线E：

学生独立完成练习1 22xyx

MFME的左，右焦点，点在上，与11教师巡堂，根据学生完成a2b2情况进行个别辅导

1sinMF2F1

，

轴垂直，则E的离心率为（

）3学生分析讲解

3A2

B

C3

D 2 教师点评

2

（学生一边做，教师一边引导）

师：你能找到条件中的等量关系吗？（分析）

能用a、b、c

或其中两个量来表示这个等量关系吗？

（分析）

（请学生展示解题过程，分析思路，简述变形、计算过程）

题型一：求离心率的值

通过问题1的探究，让学生掌握：

①如何根据题意找到包含a、b、c的等量关系；

②如何运用解析法求出l在y轴上的截距；

③根据等量关系建立方程后，能通过等式变形构造出

培养应用能力和分析能力

通过实践-展示-提炼三个步骤，让学生掌握解析法的解题思路并能正确求得离心率。

培养分析能力

解决练习1时，学生的解题方法可能有解析法也有几何法。通过讲解巩固解析法，引出几何法。

培养应用能力

通过讲解让学生掌握：

①如何根据题意和几何图形特征找到包含a、b、c的等量关系；

②根据等量关系建立方程后，能通过等式变形或方程思想求出离心率

培养分析能力

c，求出离心率

a4

师：请小结你的解题步骤

（分析）

小结：几何法求离心率的步骤

①根据条件，结合圆锥曲线的定义或几何图形的特征寻求等量关系；

②用a、b、c表示该等量关系；

③等式变形或方程思想求离心率的值

师：展示解析法的解答过程，请大家分析哪个方法更好？

（评价）

生：几何法

师：解析法与几何法的选择

解析法是用代数方法解决几何问题，是通法；

引导学生提炼几何法求离心率的思路。

培养分析能力

引导学生对比两个方法的优劣，让学生能够根据题意选择最适合的方法

培养评价能力

师生一起小结几何法求离心率的思路

师生一起小结解析法和几何法的求离心率的思几何法是充分运用几何图形的几何特征或圆路，对比两个方法的优劣锥曲线的定义来解决离心率问题。由于离心率的本，并会根据题意选择最便质就是圆锥曲线的几何特征，a、b、c表示的是长捷的方法

半轴、短半轴、半焦距的长度，因此题目中关于a、

b、c的条件比较充分时，运用几何法解决问题更为

简便。

学生独立完成问题2 22xy

是椭圆C：221(ab0)的左焦点，A，

ab

B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x

轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交

于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率教师巡堂，根据学生完成情况进行个别辅导

为（

）

1123A.

B.

C.

D.

3234

学生分析讲解

问题2

变式1

师：很多离心率问题是以平面图形为载体出现

的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形教师点评

面积的等价转化、勾股定理、三角函数、正余弦定

理等，需要积累经验，提炼解题模型，从而能找出

其中所隐含的几何性质与数量关系。（分析）

问题2：（2016全国Ⅲ

11）已知O为坐标原点，F解决问题2时，学生的解题方法可能有解析法也有几何法。学生用解析法的原因是没有看出图形中有两组“A型”三角形相似，通过讲解引导学生学会观察图形，并提炼相似三角形的解题模型。

培养应用能力和分析能力

引导学生挖掘图形背后隐含的性质，从而顺利找到等量关系。 培养分析能力

5

xy

变式1：如图，设椭圆E:221（ab0）学生独立完成变式1 ab

教师巡堂，根据学生完成的右顶点为A，右焦点为F，

B为椭圆E在第二情况进行个别辅导

象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线

BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是学生分析讲解

（

）

教师点评

1121A.

B.

C.

D.

2334

师：请小结三角形相似的常见模型

（分析）

A型（左图）和蝴蝶型（右图）

和学生一起小结常见的相似三角形的图形模式

22变式1在问题2的基础上，运用“蝴蝶型”相似三角形构建关于a、b、c的等量关系，从而解出离心率。

引导学生学会观察图形，提炼出相似三角形的第二种模型。

培养应用能力和分析能力

通过两个常见相似三角形的图形模式的提炼，让学生能够更快捷地找到等量关系和解题思路

培养分析能力

通过问题3让学生掌握：

（1）极端解法：根据题意和图形的几何特征，如何用极端解法简化求解过程；

（2）运用几何法直接求取值范围：

①如何根据题意和图形的几何特征构建关于a、b、c的不等关系；

②如何运用一些常见方法求离心率的取值范围。

培养分析能力和创造能力

通过小结，让学生明确求离心率取值范围的思路；

学会用极端解法等特殊方法快速解选择题

培养评价能力

通过变式2让学生再次实践极端解法和直接法求取值范围

培养分析能力和应用能力

题型二：求离心率的取值范围

x2y21ab0）问题3：设P是椭圆22（上ab的一点，FF1、2是其左、右焦点，已知F1PF260，则离心率e的取值范围是

. 师：介绍极端解法

（创造）

师：请小结求离心率取值范围的步骤

（分析）

小结：求离心率取值范围的步骤

①根据条件，结合圆锥曲线的定义或几何图形的特征等寻求不等关系；

②用a、b、c表示该不等关系；

③求离心率的取值范围

师：极端解法与直接法哪个更方便？（评价）

作为选择题，首先应尝试极端解法等确定选项；如若行不通，则考虑直接法求解

学生独立完成问题3

教师巡堂，根据学生完成情况进行个别辅导

学生分析

教师讲解

和学生一起小结求离心率取值范围的思路

引导学生对比极端解法和直接法的优劣

x2y21ab0）变式2：设椭圆22（的左、abF右焦点分别为F1、2，如果椭圆上存在点P，使F1PF290，则离心率e的取值范围是

.

学生思考变式2

分享解题思路

教师讲解

6

环节三：课堂小结

本环节的设计意图：在环节二的基础上，再次提炼两个题型的解题模式，并加深学生的印象，培养分析能力和创造能力。

学习任务

教学活动

设计意图

提炼并巩固求圆锥曲线离心率或取值范围的方法；

培养分析能力

引导学生从数学思想的高度去认识问题，培养学生的核心素养

培养创造能力

师：请小结求圆锥曲线离心率或取值范围的步师生一起小结

骤

（分析）

1．求圆锥曲线离心率或取值范围的步骤：

①用解析法和几何法构建关于a、b、c或其中两个量的等量关系或不等关系；

②通过等式变形或方程思想推出离心率的表达式；

③如果是求值问题，就根据离心率的表达式计算结果；如果是取值范围的问题，就根据离心率的表达式结合不等式、函数等工具求范围；

2．学会用方程思想、转化思想和数形结合思想解决圆锥曲线的离心率问题。 （创造）

六、教学反思

七、附录

附1：《高中数学新课程标准》关于圆锥曲线部分的内容与要求

圆锥曲线与方程（约12课时）

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例1），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

（5）了解圆锥曲线的简单应用。

附2：《2018年高考大纲（文科数学）》关于圆锥曲线部分的要求

(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

(3)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.

(4) 理解数形结合的思想.

(5)了解圆锥曲线的简单应用.

7

附3：近五年全国卷（文科）选填题关于解析几何部分的命题趋势

2013 2014 2015 2016 2017 8.

抛物线定义

10.

抛物线定5.

椭圆、抛物5.

椭圆的图5.

双曲线的几义

线的定义、标准象、离心率

何性质

方程

全国卷

（I）

16.

双曲线定义，直线与双曲线的位置关系及最值问题。

15.

直线与圆12.

椭圆的标准的位置关系，方程与几何性点到直线的距质

离，勾股定理

5.

抛物线的5.双曲线的离心方程、图像和率

性质

5.

抛物线的定10.

抛物线、7.

直线与圆

义、离心率

直线、弦长

全国卷（II）

10.抛物线的定义，直线与抛物线位置关系

全国卷（III）

11.

双曲线方6.

直线和圆12.

直线与抛物程、渐近线

的位置关系，线的位置关系

点到直线的距离

12.椭圆的离11.

直线与圆、心率

椭圆离心率

15.

直线与圆14.

双曲线渐近位置关系及弦线方程

长

附4：近三年全国卷关于离心率问题的真题

x2y21.（2017全国Ⅰ理15 ）已知双曲线C:221（a0，b0）的右顶点为A，以A为ab圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点。若MAN60，则C的离心率为_______. x2y22.（2017全国Ⅱ理9）若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆ab2x2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（

）

23

3x2y23.（2017全国Ⅲ理10文11）已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，abA2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（

）

A．2

B．3

C．2

D．A．1632

B.

C.

D.

3333x2y24.（2016全国Ⅱ理11）已知F1，F2是双曲线E：221的左，右焦点，点M在E上，MF1ab1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（

）

38

3A．2

B．

C．3

D ．2 2x225.（2017全国Ⅱ文5）若a1，则双曲线2y1的离心率的取值范围是（

）

aA．(2,)

B．(2,2)

C．(1,2)

D．(1,2)

x2y26.（2016全国Ⅲ理11文12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左ab焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（

）

1123A．3

B．2

C．3

D．4

7.（2016全国Ⅰ文5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短1轴长的，则该椭圆的离心率为（

）

41123A．3

B．2

C．3

D．4

8.（2015全国Ⅱ理11）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（

）

A．5

B．2

C．3

D．2

附5：高阶思维能力测评指标体系

表1

2001年版认知领域教育目标分类——认知过程维度

类别

回忆

理解

应用

分析

评价

创造

关键词

识别、回忆

定义

从长时记忆中提取相关的知识

解释、举例、分类、

从教学信息包括口头、书面和图形等交流形式中建构意义

总结、推断、比较、说明

执行、实施

区别、组织、归属

核查、评判

产生、生产、规划

在给定的情境中执行或者利用一种程序

把材料分解成各个组成部分，确定各部分之间的相互关系以及与总体框架的关系

基于标准做出判断

把要素放在一起形成连贯的或者实用的整体：重新组织要素

结合国内外对于高阶思维能力的研究，将高阶思维能力界定为分析、评价、创造能力，并借鉴江梅编制的《小学中年级语文阅读高级思维能力测评指标体系》设计了《高中数学高阶思维能力测评指标体系》。（见表2）

表2

高中数学高阶思维能力测评指标体系

一级指标

二级指标

区别

分析

组织

归属

评价

核查

评判

评估标准

能区分有关和无关的数量或信息，能辨别题中隐含的条件、前提或结论

能识别有关成分的系统的和内在的关系，把有关的条件按数量关系组织成整体

能从所给材料中概括出各对象的共同属性

能指出某论述、推理过程或者结论是否有逻辑错误

能从多种可能的解题方法种确定一个最优方法

9

生成

创造

产生

规划

能准确提取重点信息，并合理推断出潜在信息或生产新方法

能根据所呈现的数学情境，提出多种合理的问题；能将解决问题的方法联想、领悟、迁移，解决新问题

变换所解决问题的相关信息，生发出有意义的联想和领悟

10