回顾与思考第二课时教学设计

《十字相乘法》教学设计

广州市第一一三中学

廖娟年

【教学内容】“北师大版”八年级下册

第四章 《整式的乘法与因式分解》 “阅读与思考”：十字相乘法

【教学目标】

1、理解十字相乘法的意义；会用十字相乘法对“二次项系数为1”的二次三项式进行因式分解。

2、通过学生的尝试，培养学生观察问题、分析问题的能力和逆向思维能力。

3、体验独立探索和交流的学习过程，培养总结归纳、灵活运用数学知识的能力。

【教学重点】理解十字相乘法，能熟练应用十字相乘法的方法对二次三项式x2(pq)xpq进行因式分解。

【教学难点】对二次三项式x2(pq)xpq进行因式分解时，能快速准确地确定p和q的值。

【学情分析】所选班级中大部分学生能熟练解决多项式乘多项式的问题，并知道因式分解的概念，能根据二次三项式的特点选择适合的方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）分解因式，具有一定的学习研究能力和较强的运算能力。

【教学过程】

课前阅读材料：

因式分解：（1）x26x9x3

（2）x26x8?

（3）x26x7?

（4）x25x6?

（2）x26x8?

解：分析：将x26x8转化为x26x9，利用完全平方公式尝试因式分解。

x26x8

x26x91

1 2

x312

2x31x31

x2x4

（3）x26x7?

解：分析：将x26x7转化为x26x9，利用完全平方公式尝试因式分解。

x26x7

x26x916

x342

2x34x34

x1x7

（4）x25x6?

5解：分析：将x25x6转化为x25x，利用完全平方公式尝试因式分解。

2x25x6

251x25x

2451x

225151xx

2222222x3x2

【设计意图】学生自主阅读，发现此类二次三项式可以利用完全平方公式分解因式，但过于复杂，令学生产生探索更简捷的因式分解方法的渴望，引出本节课研究的课题——十字相乘法。此阅读材料在课前让学生自己阅读，教师可以根据学生的具体情况进行点评，让学生明确为什么学习“十字相乘法”。

2

环节一：复习回顾

1、因式分解

（1）x2x＝______________；

（2）x24y2＝

______________；

（3）x26x9＝______________ ；

2、你能把x25x6因式分解吗？ 引出本课学习的课题——十字相乘法。

【设计意图】通过具体题目回顾因式分解方法的选择，让学生遇到新的问题：x25x6用什么方法进行因式分解？从而感受学习新方法的必要性，并引出本课学习的课题——十字相乘法。

环节二、合作解决

，探究新知

1、乘法计算：

（1）x2x3____________

（2）x1x6______________

（2）x2x3____________

（4）x2x3_______________

2、因式分解

（1）x25x6=______________

（2）x27x6=______________

（3）x2x6______________

（4）x2x6______________

反过来，x2abxabxaxb，因而对二次项系数为1的二次三项式进行因式分解，关键是要确定a和b的值.为了快速准确地找到满足条件的a和b，可以借助十字相乘的形式，如下图：

一次项

二次项

常数项

因式

x x +a +b （x+a）

（x+b）

axbx师生活动：学生计算，师生共同分析结果，利用因式分解与整式乘法是方向相反的变形，得出x2abxab型式子因式分解的方法.

【设计意图】学生通过练习，再次体会因式分解与整式乘法是方向相反的变形；由特殊到一般，发现形如x2abxab的多项式的一次项系数是a与b的和，常数项是a与b的积，并把整式乘法的过程反过来，得到分解因式的方法；介绍如何写十字相乘的

3

形式，以便快速准确地找出满足条件的a和b.

3、探讨十字相乘法分解因式的方法

问题：x25x6如何因式分解？

分析：根据x2(ab)xab因式分解的结果是xaxb，让学生明确，分解

x25x6就是将它转化为x2(ab)xab的形式，转化的关键在于找a和b的值；

第一步：把常数项6分解为两个数相乘（ab6），找出了a和b可能的数字组合有____种；

组合1：ab166

组合2：ab236

组合3：ab166

组合4：ab236

第二步：用十字图验证ab?

组合1十字图：

组合

2

十字图：

x

2

x

1

组合3十字图：

组合4十字图：

××x6x+6x=7x×x32x+3x=5xxx-1-6-x-6x=-7x×xx-2-3-2x-3x=-5x第三步：确定a_____，b_____；

环节三、例题讲解

例1 因式分解

（1）x29x8

（2）x26x8

例2 因式分解：

（1）x27x8

（2）x22x8

【设计意图】设置问题引发学生对二次三项式x2abxab因式分解的思考和探索，通过步骤引导学生寻找和可能的数字组合，然后利用十字图进行验算并确定正确的组合，得到因式分解的正确结果.学生在思考和尝试中，理解十字相乘法分解因式的方法，感悟其关键步骤在拆常数项和凑一项次项，并在练习中巩固所学知识. 巩固练习

1、因式分解：

4

（1）x28x12

（2）y210y24

（3）a2a20

（4）y25y36

2、因式分解：

（1）x27xy12y2 （2）a2ab30b2

【设计意图】通过课堂练习，学生更熟练地掌握用十字相乘法分解“二次项系数为1”的二次三项式. 环节四、总结提升

用十字相乘法对对二次三项式 x2abxab因式分解得

步骤：

x2abxab=xaxb1、拆：从常数项a·b入手，考虑a和b可能的数字组合。

2、凑：验证a+b＝一次项系数，确定a和b的值。

3、横：横写出两个因式。

学生通过对比、讨论归纳得两个因数与常数项、一次项系数的关系：

（1）常数项是正数时，它分解为两个同号因数，它们和一次项系数符号相同；

（2）常数项是负数时，它分解为两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。

环节五、课后作业：【A组题】（基础训练）

1、因式分解：

（1）x210x16

（2）x210x16

（3）x26x16

（4）x26x16

（5）p213p14

（6）m22m63

【B组题】能力提高

2、分解因式

（1）x23xy2y2 （2）x26xy5y2

2(3) ab4ab3 (4) ab(ab)6 23、若多项式x22xm可分解为(x3)(xn)，则m ，n 。

【C组题】拓展探索

4、先阅读学习，再求解问题：

5

材料：把二次三项式2x25x3因式分解？

分析：把二次三项式2x25x3的二次项2x2＝2xx，常数项3＝13，因而用十字相乘法分解因式可得：

拆

x 1

2x 3

凑：3x2x5x

所以2x25x3=________________

问题：因式分解：

（1）2y23y1

（2）3x25x2

（3）2a23a2

（4）3x2y4xy4y

题号

1（1）

1（2）

1（3）

1（4）

1（5）

总分

得分

环节六、检测反馈

错因

因式分解（每小题20分共100分）：

2（1）

x+6x+8=

（2）x2-7x+6= （3）x2x6=

（4）x24x5=

（5）x23xy4y2=

【设计意图】

1、有梯度地设置课堂练习，让学生更熟练地掌握用十字相乘法分解“二次项系数为1”的二次三项式。

2、通过目标检测使每个学生都积极动脑，以落实学生对重点知识和数学方法和技能的掌握。

3、在C组题安排对“二次项系数不为1”的二次三项式分解因式的方法的探索，类比“二次项系数为1”的二次三项式的分解方法，进行研究方法的迁移。

【1】重点说明：分解“二次项系数不是1”的二次三项式活动内容将根据课堂学生学习情况灵活处理。

6