2.2 圆的对称性教学设计实例

2.2

圆的对称性（2）

教学目标：会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；能利用垂径定理进行相关的计算和证明；在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，明白圆的问题依旧要化归为直线形问题解决．

教学重点：垂径定理的证明定理及其简教学难点：垂径定理的证明定理．

一、课前专训

1、下列说法正确的是（

）

A. 相等的弦所对的弧相等

C. 相等的弧所对的弦相等

B. 相等的圆心角所对的弧相等

D. 相等的弦所对的圆心角相等

单应用．

[来源学科网Z.X.X.K]2、如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，AC=BC，D、E分别是OA、OB的

中点，CD与CE相等吗？为什么？

要求：学生说明解题思路

二、复习

1、圆是什么对称图形？你是如何验证的？

2、学生可以得到：（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴．

要求：通过本题既复习圆是中心对称图形性奠定基础．

三、实践探索一：圆的轴对称性

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？

，圆心是它的对称中心，同时又为学习轴对称

归纳：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．

2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！

要求：学生先思考，再交流．在引入的基础上进一步探究、归纳、总结，也为下面进一步探究奠定基础．既是上面探究的结论运用，同时也是为下面垂径定理作好铺垫．

四、实践探索二：垂径定理．

1．操作、探索

学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，

再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，

交点为P（如图1）．沿着直径将圆对折（如图2），你有什

么发现？

图1

图2 要求：主要是从相等的线段和相等的弧入手考虑；

2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．[来源学§科§网Z§X§X§K]

（1）归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个条件，(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧．

（3）几何语言：

∵CD是直径，CD⊥AB，

[来源学+科+网]

∴AM＝⌒⌒⌒⌒BM，AC＝AD，BC＝BD．

3．请证明你的发现．

要求：引导学生利用对称性和全等等方法证明．

鼓励学生自己动手实践探究．通过思考、探索，得出相应的结论并尝试说理．让学生自己试着书写几何语言，培养学生严谨、规范的几何书写．

五、巩固训练

1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？

EEEEEEEE

EEEE要求：学生先独立思考，然后请同学说说自己的判断和依据，并请另外一名同学进行点评．强化定理使用的条件，同时也对基本图形加深印象．

2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，

添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．

要求：学生先独立完成，然后请同学交流自己的想法．（多让几个学生发言，

培养学生的发散性思维．）强化定理使用的条件．

六、例题精讲

例1

如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．

分析：（1）怎样求线段长？（2）圆心O到AB的距离、半径、弦之间有什么关系？

要求：强化垂径定理的基本图形和常用辅助线——过圆心作弦的垂线．

引导学生审题，学会分析问题，可以从已知条件出发，也可以从结论或

要求解的未知量出发，将已知与未知联系起来．

例2

如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相

等吗？为什么？

要求：先独立思考，然后板演展示，最后小组合作交流自己是如何思考的？ 证明：过O作OP⊥AB，垂足为P，则

AP＝BP，CP＝DP．

AP－CP＝BP－DP，

即

AC＝BD．

注意：例2是例1的拓展和延伸，要引导学生如何分析．

七、知识应用

D1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问

题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长

OAECB一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为

⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据

题意可得CD的长为________．

要求：先独立思考并完成，然后板演交流，并说出自己的想法；谈谈自己做完此类型的问题有什么策略和方法；

2．已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、CD之间的距离．

要求：学生自己画图并解题，然后请学生说说自己的想法，最后小组讨论总结．对垂径定理的基本图形进行强化，同时也培养学生分析问题和归纳总结的能力．向学生渗透分类思想，培养学生分析问题的能力．

⌒⌒3．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AC与BD相等吗？为什么？

要求：每人先独立思考，然后小组交流讨论，最后请学生展示．引导学生

通过转化为熟悉的基本图形来尝试解决问题．

注意：运用所学的知识解决较灵活的问题，关注解决问题的策略——添加辅助线，构造基本图形．

八、小结与反思

通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？

1．圆既是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆也是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴．

2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

要求：引导学生总结本节课的学习内容，在知识与方法这两方面加以反思，使所学的知识更系统，活动经验更丰富．

九、课堂练习

1、如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=__________cm．

2、如图，⊙O的直径CD与弦AB相交于点M，只要再添加一个条件：________，就可得到M是AB的中点．

[来源学科网]

第1题

3、在圆中有一条长为16cm的弦，圆心到弦的距离为6cm，该圆的直径的长为_______cm．

4、如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C．若OA=5，OC=3，则弦AB等于[来源学科网ZXXK]第4题

（

）．

A．

B．8

C．6

D．4 10

十、课后作业：

1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图指出它的对称轴。

ACCACDBCOADBBOOBDAOO

① ② ③ ④ ⑤2、如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距

离是3.求⊙O的半径. 3、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.

4、如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？

5、完成补充习题相应练习．