⊙ 生活中的“一次模型”教学设计(第一课时)

综合与实践

生活中的“一次模型”

银川六中

齐燕

一、学生起点分析

到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也发现了它们彼此之间的联系，初步感受到这三个基本数学模型的广泛应用。

但是，由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。

二、教学任务分析

本课题是以探索一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用为主题的实践活动，一方面可以使学生体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，初步形成对数学知识系统性的认识，发展学生的概括能力、数学研究能力；另一方面通过调查活动使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，发展学生的数学抽象能力，综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉的用数学。

相比前面的课题学习而言，本课是自主活动类型的课题学习,以一种新的形式呈现，任务的给出比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于说具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择，因而，保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题，提出问题的机会，进一步发展学生的应用意识和创新意识。因此，本节课的教学目标定为：

⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。

⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。

⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步

积累数学活动经验。

三、教学过程分析

在教学过程中安排两课时。

第一课时引领学生回顾总结，发现应用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决的一些实际问题，在此基础上，学生依据不同的学习背景选择问题情境，小组讨论确定研究主题，拟定解决问题的方案，研究分析需要获取的有效数据。具体教学过程如下：

分为以下四个环节：第一环节：知识回顾，建立联系；第二环节：讨论交流，提出问题；第三环节：组建小组，确定方案；第四环节：交流评价，完善方案。

第二课时交流评价。分为两个阶段：第一阶段以小组为单位进行交流展示。重点展示研究调查过程和结果概述；第二阶段小组互评，选出优秀课题和优秀调查报告。从交代问题情境、数据的来源、建立何等模型、求解过程、相关解释及应用几个方面对调查报告进行评价。

设计意图：

考虑到这样形式的课题学生还是第一次做，所以，在正文中明确的提出两点要求，作为“扶手”：一是对学生拟定方案环节做了方向的指导；二是对汇报交流的报告做了必要的内容要求。这样可以让学生在做课题时，目的性更明确，不至于“走偏”。

通过第二课时的小组汇报，教师、同伴的交流与评价，学生反思自己的调查过程与研究结果并进一步修正与完善，提交课题活动感想。

第一课时教学过程展示：

第一环节：知识回顾，建立联系

1.举例说明一元一次方程（组）、一次函数、一元一次不等式（组）之间有什么样的关系？

2.举例说明生活中常见的用一元一次方程（组）或一次函数或一元一次不等式（组）相关知识解决的实际问题。

设计意图：

在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的内在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基础。

第二环节：讨论交流，提出问题

在学生提出的实际问题基础之上，汇总出几个有价值的研究材料供学生选择。

材料1 探索出租车如何计价

1.日间出租车价与里程数之间的函数关系；

2.夜间出租车价与里程数之间的函数关系；

3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等。

材料2 探索商场促销现象

节假日商场经常打出打折的牌子,在各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题。

调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式，列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析，用你得到的结论，指导周围的人理性消费。

材料3 关于集资活动的调查

1.学校的社团常常需要筹措资金，如果你是某个组织中的成员，请列出一张清单，写出你所需要的资金项目。

2.在1的基础上，计划一下资金增长的方式，当你完成你的计划时，同时考虑一下为了增长资金是否还需要一些必要的开销，用方程、不等式和函数表示你的计划及盈利情况。

3.将你筹措资金的情况展示给大家，做一个报告叙述你的观点，并与同伴交流，报告中要用到2中的方程、不等式和函数。

材料4：

关于教育开销的调查

1.计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要多少教育资金。

2.考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄计划。

3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量。

4.将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的调查是否可行？如果可能请他们提供改进的建议。

材料5：

伴着人类电子行业的迅速发展，手机的用途越来越广，越来越被我们青睐，因此话费问题也经常会被纳入家庭经济核算.如今的话费收取种类众多，如何选取最适合自己的一套方案也被人们所重视.我们就对话费的选取这方面进行研究与调查.

首先提供一张王先生10月份话费清单：

移动公司出来两种话费计费方式：

方式一

方式二

月租

本地主叫限定时长/min 20 50 120 200 主叫超时费/(元/min) 被叫

0.20 0.10 免费

免费

请根据所学一元一次方程、一元一次不等式或一次函数等知识，构造相应数学模型，结合实际情况帮助王先生选择一种较合适的话费方案. 设计意图：

由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。这时，需要教师依据学生的学***，给予恰到好处的帮助，在数学模型的建立，方程、不等式、函数关系的构造等方面，可以让不同认知水平及能力层次的学生都经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的研究过程。在深度上，不同认识层次的学生可以选择不同的问题情境，又可以不同程度地融合数学知识，让不同的学生在数学上得到不同的发展

第三环节：组建小组，确定方案

1.在教师的指导下，学生根据自己的情况选择合适的研究内容组成研究小组。组内人员进行明确分工。

2.组内讨论，形成完整的调查研究方案。

第四环节：交流评价，完善方案

1.分小组在班上交流调查方案，并对每个方案进行评价提出修改建议。

2.组内完善方案。利用可与时间进行实地调查，完成调查报告。

设计意图：

学生通过经历这样的数学活动，体会数学学习不仅仅是做习题，而且要学会用数学的视角分析现实问题，揭示并理解现实问题。必要时，教师可以提供一些背景，提出研究方向，给出一些具体的问题等。

评价建议

1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程。

2.关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。

3.关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题。对于问题研究的深度，可以让不同认识层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。

5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度。

附：学生调查报告的参考材料与点评

生活中的“一次模型”

提供者：南京市第二十九中学

刘黔昉

评析：石家庄市教育科学研究所

张惠英

课题素材：家庭用电成本如何节约？

案例说明：本案例以追求家庭最低用电成本为主线贯穿，从家庭峰谷用电量的实际数据、峰谷电价的差异，到家用电器功率以及用电时间的调查、整理分析，反馈课题活动小组的研究课题选题的意义、研究方向的正确性、研究方法的合理性以及研究结论的实用性。当然，类似的，教师还可以指导学生做水表费用和煤气表费用的调查。

学生作品：一个小组的课题报告

一元一次不等式与一元一次方程、一次函数问题的调查

小组成员：严昕、肖晴、苏玮奕、冯艳蕾、戈绍男、路皓

引言

今天,我们小组正在路皓家讨论数学活动.突然,一阵敲门声打断了我们的谈论,原来是小区的物管人员来查电表. 一位同学建议:为什么不以小区内的用电方案作为我们的活动主题呢? 收集数据

南京现在有两种用电收费方法: 分时电表

峰时（8:00~21:00）

电价0.55元/千瓦·时

谷时（21:00到次日8:00）

电价0.35元/千瓦·时

普通电表

电价0.52元/千瓦·时

路皓家所在的小区用的电表都换成了分时电表. 问题：家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？

解决问题

解：设某家庭某月用电总量为a千瓦·时(a为常数)：谷时用电x千瓦·时,峰时用电（a-x）千瓦·时,分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元. 则函数关系式为：y1=0.35x+0.55(a-x)，y2=0.52a. 1.当0.35x+0.55(a-x)=0.52a时,解得x=0.15a.此时,y1=y2. 说明如果一个家庭把每月的用电量的15%放在谷时使用,则两种方法费用相等. 2.当0.35x+0.55(a-x)＞0.52a时,解不等式,得x＜0.15a.此时,y1＞y2. 说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%,则普通电表合算. 3.当0.35x+0.55(a-x)＜0.52a时,解不等式,得x＞0.15a.此时,y1＜y2. 说明如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15%,则分时电表合算. 路皓家最近两个月用电的收据: 谷时用电(千瓦•时) 181 根据上表,我们进行了计算: x=181,a=181+239=420。

x÷a=181÷420≈0.43

峰时用电(千瓦•时) 239 合计(元) 181×0.35＋239×0.55＝194.80

这一次，我们小组在实际生活问题的基础上,建立了数学模型，运用了一次函数、一元一次方程和一元一次不等式,把它们三者紧密地联系在一起，解决了日常生活中的问题.此外,我们还学到了一个理财的小技巧. 真是处处留心皆“数学”呀！

点评：该小组同学提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰，主题选择贴近即生活实际，又运用了“三个一次”的数学模型，由生活原型感悟“三个一次”数学模型的作用。他们得到的结论又可以运用于生活实际。这些都会给学生带来成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣和应用意识。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。学生通过探究“家庭用电成本如何节约？”的问题可以说经历了一个建立和求解模型的过程，而且还会体会到他们的现实生活中蕴含着大量的与数学有关的问题，这些问题可以抽象为数学中的某个问题，用数学的方法加以解决。

教材设置《生活中的一次模型》这个综合实践活动，不仅仅是反映“三个一次”模型的综合运用，培养学生的应用意识，另一方面是想让学生经历设计解决问题的具体方案，使其不断思考，尝试发现和提出问题，进一步获得建立数学模型的经验。

学生能够通过小组合作形成探究报告，是非常难能可贵的，教学中希望更多地教师像刘黔芳老师一样引导学生善于反思和总结，初步体会进行规范的科学研究的过程与方法。

三、评价学生活动的参考标准（贾燕军提供）

由于本课题比较开放，教学评价会有一定难度，对学生的小组活动报告进行评价，可参考以下标准：评价结果采用四个等级：A、B、C、D。其分别对应：优秀、良好、中等、基本合格。一般情况，尽量不给予不合格的评价，除非其与D级水平有明显差异。

等级表现描述：

D：

仅仅选定了一个较为简单的课题开展研究，并给出了正确、合理化解答。问题本身、求解过程没有体现综合运用三个“一次模型”的知识的活动。或者虽然提出了一个较为合适的研究问题，但没有提供完整的求解思路、框架、步骤，以及确定的操作程序和明确分工；未能掌握一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的知识，不了解三者之间的关系；

提交的课题报告中仅仅阐述了部分课题活动过程，但存在一些明显的表述问题，如结构

不完整、一些语言表述不准确、使用了不当的数学语言或符号等；没有对课题活动进行反思的意识。

C：

能够基本准确地提出与一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的研究课题，能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解；

小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明；

提交的课题活动报告结构基本合理，对活动过程的描述基本正确，可读性一般；但内容至少包括：选择的问题情境、获得数据的过程、建立的数学模型、求解过程、解释与应用等几方面；结合实际问题情境,分类写出多个函数关系,并运用不等式或方程确定函数关系成立的条件,再将所有可能的解用图像表示。能较为正确地使用一些数学语言、符号、图像等进行解释和验证。

有对课题活动的过程、方法、结果进行反思的意识，对活动过程中出现的意外情况作必要的处理，包括改变方法、调整方案等。

B：

能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解。

小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明。

提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰、准确，具备良好的可读性和可交流性；内容应包括：背景问题是如何选取的，问题的哪些方面涉及三个“一次模型”的知识，小组中各个成员分别承担的具体职责，完成了方案的基本步骤，较为明确、深刻的运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识对已选定的实际问题进行分析，正确地使用了必要而恰当的数学语言、符号、图像等进行解释和验证，方法简洁、合理、多样化，涉及归纳、类比、数学化、推理等数学思想方法。

能够完成预设方案中的基本步骤，如能够获得解决问题所需的数据，对数据做必要的处理，合理运用于建立符合三个“一次”的数学模型、并获得正确的课题活动结果；提供解释结果正确性的论述过程。

能对整个课题活动的过程、方法、结果进行反思，能够对活动过程中出现的意外情况作合适的处理，包括改变方法、调整方案等。

A：

在B级基础上，能够具备下列表现中的2个方面，即可以算作A级。

除能够综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识外，还能创造性灵活应用其他相关知识或方法于解决问题的过程中；

能够提出富有创意的解决问题思路；

能够对课题活动的过程、方法、结果做较为深刻的反思；在此基础上进一步发现一元一次不等式、一元一次方程与一次函数在同一问题中存在的关系和不同意义，将所获得的结论做实质性推广或比较准确地描述不同方法的优劣等；

能够进一步提出更一般性的三个“一次模型”的相关问题。