直角三角形的性质与判定教案公开课一等奖

第1课时

直角三角形的性质与判定

1.掌握勾股定理及其逆定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

进一步掌握推理证明的方法,提高演绎推理能力和思维能力.

【重点】

1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.

【难点】

勾股定理及其逆定理的证明方法.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习直角三角形的有关性质.

导入一:

【问题】

如图所示的是一个直角三角形房梁,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少? B1C1的长呢? 解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm, ∴BC=AB=×10=5(cm).

∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°.

∵∠A+∠B=90°, ∴∠BCB1 =∠A=30°.

在Rt△BCB1中, BB1=BC=×5= 2.5(cm).

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(cm).

∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°,

∴B1C1 =AB1=× 7.5=3.75(cm).

通过这道例题我们复习了直角三角形的有关结论.我们记得教材中曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用基本事实和已有定理,那么我们能够证明勾股定理吗? [设计意图]

通过复习特殊直角三角形的相关性质过渡到“一般的直角三角形具有什么样的性质”,从而引入勾股定理及其证明.

导入二:

1.让学生在练习本上画出他们观察到的生活中的直角三角形,并分别说出它们的作用.

2.高度评价学生的参与热情和学习成果,激励学生继续努力.可以把其中很有创意的发现以该学生的名字命名,以此激发学生学习的积极性.

3.总结学生的“成果”,启发学生寻找直角三角形的共性.

[设计意图]

通过学生的动手操作活动,激发学生的学习兴趣,并自然地引入课题.

一、勾股定理及其逆定理

思路一

[过渡语]

请同学们打开教材第16页,阅读“读一读”,了解一下利用基本事实和已有定理证明勾股定理的方法.

1.勾股定理

已知:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证a2+b2=c2.

证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠BAC,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.

∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).

∴四边形ACDE是直角梯形.

∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=

(a+b)2.

∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°.

∵AB=BE.

∴S△ABE=c2.

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, ∴(a+b) 2=c2 +ab +ab,

即a2 + ab+b2=c2+ab, ∴a2+b2=c2.

教师用多媒体课件演示勾股定理的条件和结论,并强调: 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的逆定理

反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗? 师生共同来完成.

已知:如图所示,在△ABC求证△ABC是直角三角形.

〔解析〕

要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题就可证.

中,AB2+AC2=BC2.

证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).

∵AB2+AC2=BC2, ∴BC2=B'C'2, ∴BC=B'C', ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS), ∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此,△ABC是直角三角形.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

在教师的引导下,先写出证明过程后,再逆向回顾证明过程,并强化理解勾股定理的逆定理.

思路二

[过渡语]

同学们,我们刚刚研究了直角三角形的性质和勾股定理,下面我们来研究如何证明勾股定理.

1.启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论,让学生画出一个直角三角形并测量三边长,验证结论的正确性.

已知:在△AEH中,∠A=90°,AE=a,AH=b,HE=c.

求证a2+b2=c2.

证明:以a,b

为直角边,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积都等于ab.

把这四个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上.

∵ Rt△HAE

≌Rt△EBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90°, ∴∠AEH+∠BEF=90°.

∴∠HEF=180°-90°=90°.

∴

四边形EFGH是一个边长为c的正方形,且它的面积等于c2.

∵Rt△GDH≌Rt△HAE, ∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90°, ∴∠EHA+∠GHD=90°.

又∵∠GHE=90°, ∴∠DHA=90°+90°=180°.

∴D,H,A三点在一条直线上.

∴四边形ABCD是一个边长为(a+b)的正方形,它的面积等于(a+b)2.

∴(a+b)2=4×ab+c2.

∴a2+b2=c2.

2.讲解与勾股定理有关的数学史,让学生发现勾股定理的逆定理.

利用学生画的直角三角形提出问题:你如何证明你画的就是直角三角形呢? 引导学生思考勾股定理的反面:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是不是直角三角形?

已知:如图所示.在△ABC中,AB2+AC2=BC2.

求证△ABC是直角三角形.

〔解析〕

要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题可证.

证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).

∵AB2+AC2=BC2, ∴BC2=B'C'2, ∴BC=B'C'.

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS), ∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此,△ABC是直角三角形.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

借此机会向学生说明判断一个命题的真假时,一定要通过严格的逻辑证明来说明,不能凭直观猜测,在证明的过程中要做到步步有据,说理充分,培养学生的理性思维.

二、互逆命题

[过渡语]

观察勾股定理及其逆定理这两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察,学生会发现: 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即第一个定理的条件是第二个定理的结论,第一个定理的结论是第二个定理的条件.

这样的情况,在前面也遇到过.例如“两直线平行,内错角相等”,交换条件和结论就得到“内错角相等,两直线平行”.又如“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就得到“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”.

观察下面三组命题:学生以分组讨论的形式进行,最后在教师的引导下得出命题与其逆命题的区别与联系:

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.

由此,我们得到逆命题的定义: 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

上面的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题及其逆命题的真假.

在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.

请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题?它们都是真命题吗? 从而引导学生思考:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明.

[教师点评]

一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.

其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理.

能举例说出我们已学过的互逆定理吗? 如“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”;“全等三角形的对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”;“等边对等角”和“等角对等边”等.

这节课,我们学习了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合具本实例了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.